Um motorista dirige o seu automóvel em uma estrada retilínea, com velocidade constante de 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s} (ou 108 \mathrm{~km} / \mathrm{h} ). Em um determinado instante, o qual consideraremos como nosso instante inicial t=0, o motorista avista um objeto na pista, localizado a 90 metros de distância neste instante. O motorista começa a frear o carro, impondo uma aceleração negativa expressa por a(t)=-\frac{15}{4} t, com t medido em segundos e a(t) medido em metros por segundo ao quadrado.
? (a) (0,5 ponto) Calcule a velocidade v(t) do automóvel no instante t.
(b) (1 ponto) Considerando a posição s do carro no instante inicial como sendo zero, ou seja, s(0)=0, calcule a posição s(t) do carro em função do tempo t.
(c) (1 ponto) Calcule o tempo necessário para o carro parar completamente. 0 motorista conseguirá parar o carro antes de colidir com o objeto na pista? Justifique.

Passo 1

O enunciado descreve um carro que em t=0 tem velocidade v(0)=30\\ \mathrm{m/s} e posição s(0)=0. Ele freia com aceleração dependente do tempo
a(t) = -\frac{15}{4}\,t.
Há um objeto a 90\\ \mathrm{m} adiante. Vamos usar que \displaystyle a(t)=\frac{dv}{dt}
e \displaystyle v(t)=\frac{ds}{dt}.

Passo 2

Para achar v(t), integramos \displaystyle \frac{dv}{dt}=a(t)=-\frac{15}{4}\,t.
Integrando de 0 a t e usando v(0)=30,
v(t)=30+\int_{0}^{t}\!\bigl(-\tfrac{15}{4}u\bigr)\,du =30-\frac{15}{4}\cdot\frac{t^{2}}{2} =30-\frac{15}{8}\,t^{2}.

Passo 3

Para achar s(t), integramos \displaystyle \frac{ds}{dt}=v(t)=30-\frac{15}{8}t^{2}.
Integrando de 0 a t e usando s(0)=0,
s(t)=\int_{0}^{t}\!\Bigl(30-\tfrac{15}{8}u^{2}\Bigr)\,du =30\,t-\frac{15}{8}\cdot\frac{t^{3}}{3} =30\,t-\frac{5}{8}\,t^{3}.

Passo 4

Para parar, resolvemos v(t_{p})=0:
30-\tfrac{15}{8}t_{p}^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad t_{p}^{2}=16 \quad\Longrightarrow\quad t_{p}=4\\ \mathrm{s}.
A distância percorrida até parar é
s(4)=30\cdot4-\frac{5}{8}\cdot4^{3} =120-40=80\\ \mathrm{m}.
Como 80\\ \mathrm{m}<90\\ \mathrm{m}, o carro para antes de atingir o objeto, sobrando 10\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) \displaystyle v(t)=30-\frac{15}{8}\,t^{2}.
(b) \displaystyle s(t)=30\,t-\frac{5}{8}\,t^{3}.
(c) Tempo de parada t_{p}=4\\ \mathrm{s}. Distância até parar 80\\ \mathrm{m}<90\\ \mathrm{m}, portanto o carro consegue parar antes de colidir.

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