Questão (1 ponto): Esboce e determine a equação da superfície de revolução da curva de equação:
, girando em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado dá a curva no plano
definida por
e pede para esboçar e obter a equação da superfície gerada ao girar essa curva em torno do eixo
. O conteúdo é superfície de revolução, que podemos tratar usando coordenadas cilíndricas ou eliminação de parâmetros.
Passo 2
Parametrizamos a curva geratriz por
Ao girar em torno do eixo
, cada ponto
descreve um círculo de raio
no plano
. Introduzimos o parâmetro angular
e obtemos a parametrização da superfície:
com
e
.
Passo 3
Para achar a equação cartesiana, note que o raio no plano
é
Substituindo em
resulta
Passo 4
No esboço, a superfície atinge
no eixo
e decai exponencialmente conforme
aumenta. O formato é de uma cúpula suave, totalmente simétrica em torno do eixo
.
Resposta
A parametrização da superfície é
e sua equação cartesiana é