3^{\text {a }} Questão (1 ponto): Esboce e determine a equação da superfície de revolução da curva de equação: \boldsymbol{z}=e^{-x}, girando em torno do eixo \boldsymbol{z}.

Passo 1

O enunciado dá a curva no plano xz definida por
z = e^{-x}
e pede para esboçar e obter a equação da superfície gerada ao girar essa curva em torno do eixo z. O conteúdo é superfície de revolução, que podemos tratar usando coordenadas cilíndricas ou eliminação de parâmetros.

Passo 2

Parametrizamos a curva geratriz por
\alpha(t) = (t,0,e^{-t}),\quad t\in\mathbb{R}.
Ao girar em torno do eixo z, cada ponto (t,0,e^{-t}) descreve um círculo de raio t no plano xy. Introduzimos o parâmetro angular \theta e obtemos a parametrização da superfície:
\mathbf{r}(t,\theta) = \bigl(t\cos\theta,\;t\sin\theta,\;e^{-t}\bigr),
com t\ge0 e \theta\in[0,2\pi).

Passo 3

Para achar a equação cartesiana, note que o raio no plano xy é
\sqrt{x^2+y^2} = t.
Substituindo em z = e^{-t} resulta
z = e^{-\sqrt{x^2+y^2}}.

Passo 4

No esboço, a superfície atinge z=1 no eixo r=0 e decai exponencialmente conforme r=\sqrt{x^2+y^2} aumenta. O formato é de uma cúpula suave, totalmente simétrica em torno do eixo z.

Resposta

A parametrização da superfície é
\mathbf{r}(t,\theta) = \bigl(t\cos\theta,\;t\sin\theta,\;e^{-t}\bigr),
e sua equação cartesiana é
z = e^{-\sqrt{x^2+y^2}}.

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