Use a Regra de L’Hôpital para calcular os limites abaixo, descrevendo as indeterminações envolvidas.:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x e^{x}}{5 x+e^{x}}. Dica: Quando possivel, coloque e^{x}$ em evidência.ê

Passo 1

O enunciado pede
\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x\,e^{x}}{5x+e^{x}}
e sugere usar a Regra de L’Hôpital pois surgirá uma indeterminação do tipo \tfrac{\infty}{\infty}. Vamos identificar essa indeterminação e aplicar a regra, usando também a dica de colocar e^x em evidência quando possível.

Passo 2

Ao fazermos x\to+\infty:
\;x\,e^{x}\to+\infty e \;5x+e^{x}\to+\infty.
Portanto temos a forma indeterminada
\frac{\infty}{\infty}.

Passo 3

Aplicando a Regra de L’Hôpital derivamos numerador e denominador:
\displaystyle \frac{d}{dx}[x\,e^x]=e^x + x\,e^x = e^x(1+x) \quad \displaystyle \frac{d}{dx}[5x + e^x]=5 + e^x
Logo o limite fica
\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x(1+x)}{5 + e^x}.

Passo 4

Agora usamos a dica de evidenciar e^x:
\frac{e^x(1+x)}{5 + e^x} = \frac{e^x(1+x)}{e^x\bigl(1 + 5e^{-x}\bigr)} = \frac{1+x}{1 + 5e^{-x}}.
Quando x\to+\infty, e^{-x}\to0, então o denominador tende a 1 e o numerador a +\infty. Logo o limite é +\infty.

Resposta

+\infty

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