Considere a função f(x)=-3 \frac{x^{2}-4 x}{x^{2}+56.25}.
Preencha as lacunas conforme tabela abaixo e classifique os pontos críticos em máximos locais, mínimos locais, ou pontos de inflexão de acordo com os valores encontrados:
x f(x) f^{\prime}(x)
-30.5 &
-30 &
-29.5 &
1.375 &
1.875 &

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=-3\,\frac{x^{2}-4x}{x^{2}+56.25}
e pede que calculemos f(x) e f'(x) em cinco pontos: -30.5, -30, -29.5, 1.375 e 1.875. Em seguida, devemos identificar quais desses são pontos críticos (onde f'(x)=0) e classificá-los como máximo local ou mínimo local, usando o sinal de f' ao redor desses pontos.

Passo 2

Calculamos a derivada por quociente. Seja
u(x)=x^{2}-4x, \quad v(x)=x^{2}+56.25.
Então
u'(x)=2x-4, \quad v'(x)=2x,
e por
f(x)=-3\,\frac{u(x)}{v(x)}
vem
f'(x)=-3\,\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =-3\,\frac{(2x-4)(x^{2}+56.25)-(x^{2}-4x)\,2x}{(x^{2}+56.25)^{2}}.
Expandindo o numerador obtemos
N(x)=4x^{2}+112.5x-225,
logo
f'(x)=-3\,\frac{4x^{2}+112.5x-225}{(x^{2}+56.25)^{2}}.

Passo 3

Avaliação em -30.5, -30 e -29.5:
f(-30.5)=-3\,\frac{(-30.5)^{2}-4(-30.5)}{(-30.5)^{2}+56.25} =-3\,\frac{930.25+122}{930.25+56.25} =-3\,\frac{1052.25}{986.5}\approx -3.201,
N(-30.5)=4(930.25)+112.5(-30.5)-225 =3721-3421.875-225=74.125,
f'(-30.5)=-3\,\frac{74.125}{986.5^{2}}\approx -0.000228.
f(-30)=-3\,\frac{900+120}{900+56.25} =-3\,\frac{1020}{956.25}\approx -3.200,
N(-30)=4(900)+112.5(-30)-225 =3600-3375-225=0,
f'(-30)=0.
f(-29.5)=-3\,\frac{870.25+118}{870.25+56.25} =-3\,\frac{988.25}{926.5}\approx -3.199,
N(-29.5)=3481-3318.75-225=-62.75,
f'(-29.5)=-3\,\frac{-62.75}{926.5^{2}}\approx +0.000219.

Passo 4

Avaliação em 1.375 e 1.875:
f(1.375)=-3\,\frac{1.890625-5.5}{1.890625+56.25} =-3\,\frac{-3.609375}{58.140625} \approx +0.1862,
N(1.375)=4(1.890625)+112.5(1.375)-225 =7.5625+154.6875-225=-62.75,
f'(1.375)=-3\,\frac{-62.75}{58.140625^{2}}\approx +0.000187.
f(1.875)=-3\,\frac{3.515625-7.5}{3.515625+56.25} =-3\,\frac{-3.984375}{59.765625} \approx +0.1997,
N(1.875)=4(3.515625)+112.5(1.875)-225 =14.0625+210.9375-225=0,
f'(1.875)=0.

Passo 5

Para classificar os pontos críticos observamos o sinal de f' antes e depois de cada raiz de N(x):
  • Em x=-30, f' vai de negativo (em -30.5) a positivo (em -29.5), logo é mínimo local.
  • Em x=1.875, f' vai de positivo (em 1.375) a negativo (para x>1.875), logo é máximo local.

Resposta

-30.5:
f(-30.5)\approx -3.201, \quad f'(-30.5)\approx -0.000228.
-30:
f(-30)\approx -3.200, \quad f'(-30)=0.
-29.5:
f(-29.5)\approx -3.199, \quad f'(-29.5)\approx +0.000219.
1.375:
f(1.375)\approx +0.1862, \quad f'(1.375)\approx +0.000187.
1.875:
f(1.875)\approx +0.1997, \quad f'(1.875)=0.
Classificação dos pontos críticos:
x=-30 é mínimo local.
x=1.875 é máximo local.

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