{ }^{a}\) Questão.(2,0 pts) Seja a função \(f\) dada por
\[f(x)= \begin{cases}\frac{a(x-1)}{\sqrt{x+3}-2} & \text { se } x<1 \\\ b x+2 & \text { se } x \geq 1\end{cases}
onde a\] e \(b são constantes. Encontre uma relação entre a e b tal que f seja contínua em 1.
Basta calcular os limites laterais e concluir que existem, logo a existência do limite quando x tende a 1 poderá ocorrer, assim com a continuidade. De fato, racionalizando o denominador no limite \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{a(x-1)}{\sqrt{x+3}-2}=\ldots=4 a, e \lim _{x \rightarrow 1^{+}}(b x+2)=b+2, logo o limite existirá mediante a condição 4 a=b+2. Agora, a continuidade resulta da mesma condição já que f(1)=b+2.
e pede que ela seja contínua em x=1. Para isso precisamos calcular os limites laterais em 1, usar a técnica de racionalização no ramo à esquerda e igualar esses limites ao valor de f(1).]
Passo 2
Para calcular \displaystyle \lim_{x\to1^-}\frac{a(x-1)}{\sqrt{x+3}-2}, racionalizamos o denominador:
Para o limite pela direita, basta substituir em b\,x+2:
\lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}(b\,x+2)=b+2.
Passo 4
A função será contínua em 1 se 1. os limites laterais existem e são iguais, 2. esse valor coincidir com f(1).
Como f(1)=b\cdot1+2=b+2, igualamos os limites