Questão.(2,0 pts) Calcule.
f^{\prime}(0) se f(x)=(x+1) \ln (g(x)), onde g é diferenciável, g(0)=e e g^{\prime}(0)=3.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar f'(0) onde
f(x) = (x+1)\,\ln\bigl(g(x)\bigr),
sendo g diferenciável, g(0)=e e g'(0)=3. O conteúdo principal aqui é aplicar a regra do produto e a regra da cadeia para derivação.

Passo 2

Usamos a regra do produto em (x+1) e \ln\bigl(g(x)\bigr) e a regra da cadeia para \ln. Assim, para todo x,
f'(x) = \frac{d}{dx}(x+1)\,\ln\bigl(g(x)\bigr) = 1\cdot \ln\bigl(g(x)\bigr) + (x+1)\cdot \frac{d}{dx}\bigl[\ln\bigl(g(x)\bigr)\bigr].
Como \frac{d}{dx}\ln\bigl(g(x)\bigr)=\frac{g'(x)}{g(x)}, segue
f'(x)=\ln\bigl(g(x)\bigr)+(x+1)\,\frac{g'(x)}{g(x)}.

Passo 3

Para calcular f'(0), substituímos x=0, g(0)=e e g'(0)=3:
f'(0) =\ln\bigl(g(0)\bigr) + (0+1)\,\frac{g'(0)}{g(0)} =\ln(e)+\frac{3}{e} =1+\frac{3}{e}.

Resposta

f'(0)=1+\dfrac{3}{e}.

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