Considere a função h(x)=\frac{(8+x)^{3}-512}{x} com Dom \mathrm{h}=\mathbb{R}-\{0\}. Como visto em sala de aula, através de simplificações algébricas realizadas na lei de formação matemática que define a h(x) pode-se encontrar uma função contínua \mathrm{g}(\mathrm{x}), com Dom \mathrm{g}=\mathbb{R} tal que \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{h}(\mathrm{x}) para todo x \neq 0. Neste caso, qual é o valor de g(0) ?
a) 192
b) 202
c) 187
d) 65
e) 195
f) 199

Passo 1

O enunciado fala de
h(x)=\frac{(8+x)^{3}-512}{x},\quad x\neq0,
e diz que existe uma extensão contínua g em todo \mathbb{R} coincidente com h para x\neq0. O conteúdo é tratar descontinuidade removível por simplificação algébrica.

Passo 2

Observamos que 512=8^3. Podemos usar a fatoração de diferença de cubos:
(8+x)^{3}-8^{3}=\bigl((8+x)-8\bigr)\bigl((8+x)^{2}+8(8+x)+8^{2}\bigr).
Logo
(8+x)^{3}-512=x\bigl((8+x)^{2}+8(8+x)+64\bigr).

Passo 3

Substituindo na definição de h para x\neq0:
h(x) =\frac{x\bigl((8+x)^{2}+8(8+x)+64\bigr)}{x} =(8+x)^{2}+8(8+x)+64.
Agora expandimos:
(8+x)^{2}=64+16x+x^{2},\quad 8(8+x)=64+8x,
então
h(x)=\bigl(64+16x+x^{2}\bigr)+(64+8x)+64 =x^{2}+24x+192.

Passo 4

A extensão contínua g deve ser
g(x)=x^{2}+24x+192 \quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Logo
g(0)=0^{2}+24\cdot0+192=192.

Resposta

a) 192

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