Considere a função
f(x)=\frac{-4 x+2}{(x-2)^{4}}
ATENÇÃO: Insira os valores no seguinte formato decimal por exemplo 12.3456 ou 0.0654321 . e portanto escreva
  • 0.0166666 para representar " 5 / 300 "
  • ou 13.07976 para representar 2 \ln (10)+3 \pi\left(9-e^{2}\right)-3 \sqrt{5}=13.0797548283…(que pode ser obtido escrevendo (sem aspas) " 2^{*} ln(10) +3^{*} pi*(9-exp(2))- 3^{*} sqrt(5)" diretamente no Google por exemplo)
[ 1 / 3 dos pontos] Determine as constantes A, B, C e D tais que
f(x)=\frac{-4 x+2}{(x-2)^{4}}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{(x-2)^{2}}+\frac{C}{(x-2)^{3}}+\frac{D}{(x-2)^{4}}
e insira os valores a seguir
A=\square, B=\square, C=\square \mathrm{e} D=\square

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em frações parciais de
f(x)=\frac{-4x+2}{(x-2)^{4}}
no formato
\frac{A}{x-2}+\frac{B}{(x-2)^{2}}+\frac{C}{(x-2)^{3}}+\frac{D}{(x-2)^{4}}.
O conteúdo é frações parciais para fator linear repetido. Vamos usar o método de multiplicar pelo denominador comum e igualar coeficientes.

Passo 2

Escrevemos
\frac{-4x+2}{(x-2)^{4}} =\frac{A}{x-2}+\frac{B}{(x-2)^{2}}+\frac{C}{(x-2)^{3}}+\frac{D}{(x-2)^{4}}.
Multiplicando ambos os lados por (x-2)^{4}
-4x+2 = A\,(x-2)^{3}+B\,(x-2)^{2}+C\,(x-2)+D.

Passo 3

Para ficar mais simples, faça a troca t=x-2. Então x=t+2 e o lado esquerdo vira
-4(t+2)+2=-4t-8+2=-4t-6.
A identidade fica
-4t-6 = A\,t^{3}+B\,t^{2}+C\,t+D.

Passo 4

Agora igualamos coeficientes de potências de t em ambos os lados:
coeficiente de t^{3} A=0,
de t^{2} B=0,
de t^{1} C=-4,
e termo constante dá D=-6.

Resposta

A=0, B=0, C=-4 e D=-6

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