Considere a integral
. Prove, usando uma substituição trigonométrica adequada que
para escolhas adequadas das constantes
e
.
ATENÇÃO: Insira os valores no seguinte formato decimal por exemplo 12.3456 ou 0.0654321 e portanto escreva
- 0.0166666 para representar "
"
- ou 13.07976 para representar
(que pode ser obtido escrevendo (sem aspas) "
sqrt(5)" diretamente no Google por exemplo)
A sugestão é que você use 6 ou mais dígitos significativos:
ou 13.07976
Parte 1) [40 % dos pontos] Mostre precisamente a substituição trigonométrica utilizada.
E , a partir desta substituição, insira aqui os valores das constantes :
,
e
.
Parte 2) [30% dos pontos] Considere uma partícula movendo-se ao longo de um eixo cujo campo de velocidade é dado por
Determine a distância
percorrida pela partícula durante o intervalo de tempo
.
A distância
percorrida é dada por
.
Parte 3) [30 % dos pontos] Sob as mesmas condições da Parte 2, determine agora a distância
percorrida pela partícula para
, isto é, para
.
Neste caso, a distância percorrida
é dada por
.
Dica (Parte 3): integrais impróprias … se
assumindo
contínua para
então
E , a partir desta substituição, insira aqui os valores das constantes :
A distância
Neste caso, a distância percorrida
Passo 1
O enunciado pede para calcular
e mostrar que fica da forma
Usaremos a substituição trigonométrica clássica para a integral de
.
Passo 2
Fazendo a substituição
o denominador vira
Assim
Voltando para
, temos
e portanto
Comparando com
, obtemos
,
e
.
Passo 3
Para a Parte 2 calculamos
A antiderivada é
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Passo 4
Para a Parte 3 temos a integral imprópria