Considere a integral \int \frac{1}{3^{2}+(x-7)^{2}} d x. Prove, usando uma substituição trigonométrica adequada que
\int \frac{1}{3^{2}+(x-7)^{2}} d x=\frac{1}{\alpha} \arctan \left(\frac{x-\beta}{\gamma}\right)+C \text {, one } C \text { é uma constante de integração, }éçã
para escolhas adequadas das constantes \alpha, \beta e \gamma.
ATENÇÃO: Insira os valores no seguinte formato decimal por exemplo 12.3456 ou 0.0654321 e portanto escreva
  • 0.0166666 para representar " 5 / 300 "
  • ou 13.07976 para representar 2 \ln (10)+3 \pi\left(9-e^{2}\right)-3 \sqrt{5}=13.0797548283 \ldots (que pode ser obtido escrevendo (sem aspas) " 2^{*} \ln (10)+3^{*} p i^{*}(9-\exp (2))-3^{*} sqrt(5)" diretamente no Google por exemplo)
A sugestão é que você use 6 ou mais dígitos significativos: \mathbf{0 . 0 1 6 6 6 6 6} ou 13.07976
Parte 1) [40 % dos pontos] Mostre precisamente a substituição trigonométrica utilizada.
E , a partir desta substituição, insira aqui os valores das constantes : \boldsymbol{\alpha}= \square , \beta= \square e \boldsymbol{\gamma}= \square .
Parte 2) [30% dos pontos] Considere uma partícula movendo-se ao longo de um eixo cujo campo de velocidade é dado por
v(t)=\frac{1}{3^{2}+(t-7)^{2}}
Determine a distância D percorrida pela partícula durante o intervalo de tempo 7 \leq t \leq 10.
A distância D percorrida é dada por \square .
Parte 3) [30 % dos pontos] Sob as mesmas condições da Parte 2, determine agora a distância D_{\infty} percorrida pela partícula para t \geq 7, isto é, para 7 \leq t<\infty.
Neste caso, a distância percorrida D_{\infty} é dada por \square .
Dica (Parte 3): integrais impróprias … se \int f(x) d x=F(x)+C assumindo f(x) contínua para x \geq a então
\int_{a}^{\infty} f(x) d x=\lim _{b \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{b \rightarrow \infty}[F(b)-F(a)]

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{1}{3^{2}+(x-7)^{2}}\,dx
e mostrar que fica da forma
\frac{1}{\alpha}\arctan\Bigl(\frac{x-\beta}{\gamma}\Bigr)+C.
Usaremos a substituição trigonométrica clássica para a integral de 1/(a^2+(x-b)^2).

Passo 2

Fazendo a substituição
x-7=3\tan\theta, \quad dx=3\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta,
o denominador vira
3^{2}+(x-7)^{2} =9+9\tan^{2}\theta =9\operatorname{sec}^{2}\theta.
Assim
\int \frac{dx}{3^{2}+(x-7)^{2}} =\int \frac{3\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{9\operatorname{sec}^{2}\theta} =\frac{1}{3}\int d\theta =\frac{\theta}{3}+C.
Voltando para x, temos \theta=\arctan\bigl(\tfrac{x-7}{3}\bigr) e portanto
\int \frac{dx}{3^{2}+(x-7)^{2}} =\frac{1}{3}\arctan\Bigl(\frac{x-7}{3}\Bigr)+C.
Comparando com \tfrac{1}{\alpha}\arctan\bigl(\tfrac{x-\beta}{\gamma}\bigr), obtemos \alpha=3.000000, \beta=7.000000 e \gamma=3.000000.

Passo 3

Para a Parte 2 calculamos
D=\int_{7}^{10}\frac{1}{3^{2}+(t-7)^{2}}\,dt.
A antiderivada é
F(t)=\frac{1}{3}\arctan\Bigl(\frac{t-7}{3}\Bigr),
logo
D=F(10)-F(7) =\frac{1}{3}\Bigl[\arctan(1)-\arctan(0)\Bigr] =\frac{1}{3}\cdot\frac{\pi}{4} =\frac{\pi}{12}\approx0.261799.

Passo 4

Para a Parte 3 temos a integral imprópria
D_{\infty} =\int_{7}^{\infty}\frac{1}{3^{2}+(t-7)^{2}}\,dt =\lim_{b\to\infty}[F(b)-F(7)] =\frac{1}{3}\Bigl[\frac{\pi}{2}-0\Bigr] =\frac{\pi}{6}\approx0.523599.

Resposta

\alpha=3.000000, \beta=7.000000, \gamma=3.000000 D=0.261799 D_{\infty}=0.523599

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