Considere a função
f(x)=\frac{-4 x+2}{(x-2)^{4}}
ATENÇÃO: Insira os valores no seguinte formato decimal por exemplo 12.3456 ou 0.0654321 . e portanto escreva
  • 0.0166666 para representar " 5 / 300 "
  • ou 13.07976 para representar 2 \ln (10)+3 \pi\left(9-e^{2}\right)-3 \sqrt{5}=13.0797548283…(que pode ser obtido escrevendo (sem aspas) " 2^{*} ln(10) +3^{*} pi*(9-exp(2))- 3^{*} sqrt(5)" diretamente no Google por exemplo)

Parte 2) [1/3 dos pontos]

Determine a integral definida I=\int_{3}^{4} f(x) d x, para a f(x) dada acima.
Insira o valor da integral aqui \boldsymbol{I}= \square

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
I = \int_{3}^{4} \frac{-4x + 2}{(x - 2)^{4}} \,dx
Isso envolve integração de uma função racional. Vamos usar a mudança de variável u = x - 2 para simplificar o integrando.

Passo 2

Fazendo u = x - 2, temos du = dx. Quando x = 3, u = 1; quando x = 4, u = 2. O numerador fica
-4x + 2 = -4(u + 2) + 2 = -4u - 6,
logo a integral vira
I = \int_{u=1}^{2} \frac{-4u - 6}{u^{4}} \,du = \int_{1}^{2} \bigl(-4u^{-3} - 6u^{-4}\bigr)\,du.

Passo 3

Integramos termo a termo:
\int -4u^{-3}\,du = -4 \cdot \frac{u^{-2}}{-2} = 2u^{-2},
\int -6u^{-4}\,du = -6 \cdot \frac{u^{-3}}{-3} = 2u^{-3}.
Então uma antiderivada é
F(u) = 2u^{-2} + 2u^{-3}.

Passo 4

Avaliaremos F(u) de u=1 até u=2:
I = F(2) - F(1) = \bigl[2\bigl(\tfrac{1}{2^{2}} + \tfrac{1}{2^{3}}\bigr)\bigr] - \bigl[2\bigl(\tfrac{1}{1^{2}} + \tfrac{1}{1^{3}}\bigr)\bigr] = 2\bigl(\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8}\bigr) - 2\cdot2 = \tfrac{3}{4} - 4 = -\tfrac{13}{4} = -3.25.

Resposta

I = -3.25

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