Considere a função
f(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)+\operatorname{sen}(3 x)+\operatorname{sen}(5 x)+\ldots+\operatorname{sen}(2019 x)}{\cos (x)+\cos (3 x)+\cos (5 x)+\ldots+\cos (2019 x)}
Se o período dessa função é igual a P, então o valor da soma dos algarismos do resultado de \frac{\pi}{\mathrm{P}} é igual a:
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)+\operatorname{sen}(3x)+\operatorname{sen}(5x)+\ldots+\operatorname{sen}(2019x)}{\cos(x)+\cos(3x)+\cos(5x)+\ldots+\cos(2019x)}
O que se pede:
  • Determinar o período P dessa função.
  • Calcular \dfrac{\pi}{P} e, por fim, a soma dos algarismos do resultado de \dfrac{\pi}{P}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os termos no numerador e denominador são seno e cosseno de ângulos com coeficientes ímpares: 1,3,5,\dots,2019.
  • É uma soma finita de termos, do primeiro termo 1 até o termo 2019, todos ímpares e espaçados de 2.
  • Não há mais dados numéricos; preciso descobrir o número de termos e uma forma fechada da soma para achar o período.

Passo 2

Contar quantos termos há nas somas (isso é essencial para o método).
  • A sequência de coeficientes é 1,3,5,\dots,2019. É uma progressão aritmética com primeiro termo 1, razão 2 e último termo 2019.
  • O número de termos n satisfaz
2019 = 1 + (n-1)\cdot 2.
Resolvendo:
2019-1 = 2(n-1)\quad\Rightarrow\quad 2018 = 2(n-1)\quad\Rightarrow\quad n-1=1009\quad\Rightarrow\quad n=1010.
Portanto existem n=1010 termos nas somas.

Passo 3

Objetivo: obter uma expressão fechada para as somas
S_{\sin}=\sum_{k=0}^{n-1}\sin\big((2k+1)x\big),\qquad S_{\cos}=\sum_{k=0}^{n-1}\cos\big((2k+1)x\big),
com n=1010. Vou deduzir uma fórmula geral para somas de termos cujos ângulos formam uma progressão aritmética, usando exponenciais complexas (método padrão, muito útil na prova).
Considere a soma geométrica complexa
\sum_{k=0}^{n-1} e^{i(a+kd)} = e^{ia}\sum_{k=0}^{n-1}\big(e^{id}\big)^k = e^{ia}\cdot\frac{1-e^{ind}}{1-e^{id}},
válida quando e^{id}\neq1. Separando parte real e imaginária teremos as somas de cossenos e senos:
\sum_{k=0}^{n-1}\cos(a+kd)=\Re\!\left(e^{ia}\frac{1-e^{ind}}{1-e^{id}}\right),
\sum_{k=0}^{n-1}\sin(a+kd)=\Im\!\left(e^{ia}\frac{1-e^{ind}}{1-e^{id}}\right).
Agora manipulamos o quociente no formato trigonométrico. Usando identidades para fatorar senos:
\frac{1-e^{ind}}{1-e^{id}}=e^{i\frac{(n-1)d}{2}}\cdot\frac{e^{-i\frac{nd}{2}}-e^{i\frac{nd}{2}}}{e^{-i\frac{d}{2}}-e^{i\frac{d}{2}}} = e^{i\frac{(n-1)d}{2}}\cdot\frac{-2i\sin\!\left(\frac{nd}{2}\right)}{-2i\sin\!\left(\frac{d}{2}\right)} = e^{i\frac{(n-1)d}{2}}\cdot\frac{\sin\!\left(\frac{nd}{2}\right)}{\sin\!\left(\frac{d}{2}\right)}.
Multiplicando por e^{ia} e extraindo real/imaginar resulta nas fórmulas clássicas (que convém decorar para prova):
\sum_{k=0}^{n-1}\cos(a+kd)=\frac{\sin\!\left(\dfrac{nd}{2}\right)}{\sin\!\left(\dfrac{d}{2}\right)}\cos\!\left(a+\frac{(n-1)d}{2}\right),
\sum_{k=0}^{n-1}\sin(a+kd)=\frac{\sin\!\left(\dfrac{nd}{2}\right)}{\sin\!\left(\dfrac{d}{2}\right)}\sin\!\left(a+\frac{(n-1)d}{2}\right).
Essas fórmulas dizem, em palavras: a soma de cossenos (ou senos) de termos em progressão aritmética é um fator comum \dfrac{\sin(\frac{nd}{2})}{\sin(\frac{d}{2})} multiplicando um único cosseno (ou seno) deslocado.

Passo 4

Aplicar as fórmulas ao nosso caso. Aqui cada termo tem a forma (2k+1)x = x + 2kx. Assim:
  • a=x,
  • d=2x,
  • número de termos n=1010.
Pelo resultado do passo anterior:
S_{\sin}=\sum_{k=0}^{1009}\sin\big((2k+1)x\big) =\frac{\sin\!\left(\dfrac{n d}{2}\right)}{\sin\!\left(\dfrac{d}{2}\right)}\sin\!\left(a+\frac{(n-1)d}{2}\right).
Substituindo a,d,n:
\frac{n d}{2}=\frac{1010\cdot 2x}{2}=1010x,\qquad \frac{d}{2}=x,\qquad a+\frac{(n-1)d}{2}=x+(n-1)x=nx=1010x.
Portanto
S_{\sin}=\frac{\sin(1010x)}{\sin(x)}\sin(1010x)=\frac{\sin^2(1010x)}{\sin(x)}.
Análogo para o cosseno:
S_{\cos}=\frac{\sin(1010x)}{\sin(x)}\cos(1010x)=\frac{\sin(1010x)\cos(1010x)}{\sin(x)}.

Passo 5

Formar a razão f(x)=\dfrac{S_{\sin}}{S_{\cos}}. Enquanto a manipulação algébrica for feita em pontos onde as somas são definidas, o fator comum \dfrac{\sin(1010x)}{\sin(x)} cancela (quando ele não é zero nem infinidade), dando:
f(x)=\frac{\dfrac{\sin(1010x)\sin(1010x)}{\sin(x)}}{\dfrac{\sin(1010x)\cos(1010x)}{\sin(x)}}=\frac{\sin(1010x)}{\cos(1010x)}=\tan(1010x),
em todos os x em que a expressão original está bem definida (isto é, exceto em pontos onde o denominador original é zero). Observação didática: mesmo nos pontos em que aparecem indeterminações do tipo 0/0, o limite da razão coincide com \tan(1010x) sempre que a expressão limite existir; portanto o comportamento funcional segue \tan(1010x) onde for aplicável. Na prática para achar o período basta conhecer a forma fechada principal \tan(1010x).

Passo 6

Determinar o período da função. A função \tan(u) tem período \pi: \tan(u+\pi)=\tan(u) e o menor período positivo é \pi. Portanto, para g(x)=\tan(1010x) o menor período positivo P satisfaz
1010(x+P)=1010x+\pi\quad\Rightarrow\quad 1010P=\pi\quad\Rightarrow\quad P=\frac{\pi}{1010}.

Passo 7

Calcular \dfrac{\pi}{P} e a soma dos algarismos.
\frac{\pi}{P}=\frac{\pi}{\pi/1010}=1010.
A soma dos algarismos de 1010 (em base decimal) é
1+0+1+0=2.

Resposta

2

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