Considere a função
Se o período dessa função é igual a
, então o valor da soma dos algarismos do resultado de
é igual a:
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
Passo 1
O enunciado dá a função
O que se pede:
- Determinar o período
dessa função. - Calcular
e, por fim, a soma dos algarismos do resultado de .
Informações relevantes fornecidas:
- Os termos no numerador e denominador são seno e cosseno de ângulos com coeficientes ímpares:
. - É uma soma finita de termos, do primeiro termo
até o termo , todos ímpares e espaçados de . - Não há mais dados numéricos; preciso descobrir o número de termos e uma forma fechada da soma para achar o período.
Passo 2
Contar quantos termos há nas somas (isso é essencial para o método).
- A sequência de coeficientes é
. É uma progressão aritmética com primeiro termo , razão e último termo . - O número de termos
satisfaz
Resolvendo:
Portanto existem
termos nas somas.
Passo 3
Objetivo: obter uma expressão fechada para as somas
com
. Vou deduzir uma fórmula geral para somas de termos cujos ângulos formam uma progressão aritmética, usando exponenciais complexas (método padrão, muito útil na prova).
Considere a soma geométrica complexa
válida quando
. Separando parte real e imaginária teremos as somas de cossenos e senos:
Agora manipulamos o quociente no formato trigonométrico. Usando identidades para fatorar senos:
Multiplicando por
e extraindo real/imaginar resulta nas fórmulas clássicas (que convém decorar para prova):
Essas fórmulas dizem, em palavras: a soma de cossenos (ou senos) de termos em progressão aritmética é um fator comum
multiplicando um único cosseno (ou seno) deslocado.
Passo 4
Aplicar as fórmulas ao nosso caso. Aqui cada termo tem a forma
. Assim:
-
, -
, - número de termos
.
Pelo resultado do passo anterior:
Substituindo
:
Portanto
Análogo para o cosseno:
Passo 5
Formar a razão
. Enquanto a manipulação algébrica for feita em pontos onde as somas são definidas, o fator comum
cancela (quando ele não é zero nem infinidade), dando:
em todos os
em que a expressão original está bem definida (isto é, exceto em pontos onde o denominador original é zero). Observação didática: mesmo nos pontos em que aparecem indeterminações do tipo
, o limite da razão coincide com
sempre que a expressão limite existir; portanto o comportamento funcional segue
onde for aplicável. Na prática para achar o período basta conhecer a forma fechada principal
.
Passo 6
Determinar o período da função. A função
tem período
:
e o menor período positivo é
. Portanto, para
o menor período positivo
satisfaz
Passo 7
Calcular
e a soma dos algarismos.
A soma dos algarismos de
(em base decimal) é
Resposta
2