Usando o método de Newton-Raphson calcule a raiz de f(x)=x^{3}-x+1, contida no intervalo [-2,-1], com erro \leq 10^{-3}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado:
  • Pede: usar o método de Newton–Raphson para calcular a raiz de f(x)=x^{3}-x+1 que está no intervalo [-2,-1], com erro \leq 10^{-3}.
  • Informação dada:
    • A função é f(x)=x^{3}-x+1.
    • O intervalo onde existe a raiz é [-2,-1].
    • A tolerância máxima do erro é \,10^{-3}.
  • Meta prática (como vamos verificar no cálculo): obter uma aproximação x_{\text{aprox}} tal que a aproximação seja estável até \,10^{-3} (vamos usar o critério prático de parada |x_{n+1}-x_n|\leq 10^{-3}, que é padrão e fácil de aplicar em prova).

Passo 2

Breve explicação do método de Newton–Raphson (a “aula” necessária).
  • Ideia: a cada iteração aproximamos a curva y=f(x) por sua reta tangente no ponto atual x_n e usamos a interseção dessa tangente com o eixo x como próxima aproximação x_{n+1}. Isso costuma convergir rápido quando a aproximação inicial está razoavelmente perto da raiz e f'(x) não é zero.
  • Fórmula de iteração:
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
  • Para aplicar precisamos de f'(x). Aqui:
f(x)=x^{3}-x+1,\qquad f'(x)=3x^{2}-1.
  • Escolha de x_0: como a raiz está em [-2,-1], um chute natural e simples é o ponto médio \,x_0=-1{,}5. Esse chute satisfaz f'(x_0)\neq0 (logo a fórmula é válida) e costuma funcionar bem.

Passo 3

Primeira iteração a partir de x_0=-1{,}5. Vou mostrar contas detalhadas e explicar cada número.
  • Calcular f(x_0) e f'(x_0):
f(-1{,}5)=(-1{,}5)^{3}-(-1{,}5)+1=-3{,}375+1{,}5+1=-0{,}875.
f'(-1{,}5)=3(-1{,}5)^{2}-1=3\cdot2{,}25-1=6{,}75-1=5{,}75.
  • Aplicar a fórmula:
x_{1}= -1{,}5 - \frac{-0{,}875}{5{,}75} = -1{,}5 + \frac{7}{46} = -\frac{31}{23}\approx -1{,}347826087.
  • Comentário didático: aqui fiz a conta exatamente em frações para ver que x_1=-31/23; em prova isso ajuda a evitar erros de arredondamento inicial.

Passo 4

Segunda iteração (calcular x_2), com contas exatas quando possível e aproximações decimais apresentadas.
  • Avaliar f(x_1) e f'(x_1). Como x_1=-\dfrac{31}{23} podemos calcular exatamente:
f\!\left(-\frac{31}{23}\right)=-\frac{29791}{12167}+\frac{16399}{12167}+\frac{12167}{12167}=-\frac{1225}{12167}\approx -0{,}100624.
f'\!\left(-\frac{31}{23}\right)=3\cdot\frac{961}{529}-1=\frac{2354}{529}\approx 4{,}450849.
  • Aplicar Newton:
x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})} =-\frac{31}{23}-\frac{-1225/12167}{2354/529} =-\frac{71749}{54142}\approx -1{,}325203912.
  • Observação: agora f(x_2) já está bem pequeno (veja próximo passo), o que é sinal de que estamos perto da raiz.

Passo 5

Terceira iteração e critério de parada prático.
  • Calcular f(x_2) e f'(x_2) numericamente (mostrando como obter cada valor approximado):
    • Computando com as aproximações:
    f(x_2)\approx -0{,}002073088,
f'(x_2)=3x_2^{2}-1\approx 4{,}268496116.
(os valores foram obtidos substituindo x_2\approx -1{,}325203912 nas fórmulas e realizando multiplicações; mantive precisão suficiente para a regra de parada.)
  • Próxima iteração:
x_{3}=x_{2}-\frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})} \approx -1{,}325203912 - \frac{-0{,}002073088}{4{,}268496116} \approx -1{,}324718100.
  • Verificar diferença entre iterações:
|x_{3}-x_{2}|\approx 0{,}000485812 < 10^{-3}.
  • Interpretação didática: usamos o critério prático |x_{n+1}-x_n|\leq 10^{-3}. Quando isso ocorre e f é suave e f' não é muito pequeno perto da raiz (aqui f'(x_2)\approx 4{,}27), essa diferença é um bom indicativo de que o erro absoluto em relação à raiz real também está abaixo de 10^{-3}. Além disso o valor de f(x_2) já era pequeno ( \approx -2{,}07\times10^{-3}), o que confirma que estamos dentro da precisão pedida.

Passo 6

Conclusão prática e incentivo (rápido).
  • Parando aqui porque o critério |x_{3}-x_{2}|\leq 10^{-3} foi satisfeito, a aproximação final é x_{3}\approx -1{,}324718100.
  • Comentário amigo: essa foi uma aplicação típica de Newton — começou com um chute razoável x_0=-1{,}5 e em apenas três iterações já alcançamos a precisão pedida. Se em prova ficar com dúvida, repetir duas iterações com mais casas decimais garante segurança.

Resposta

-1{,}324718100

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