Usando o método de Newton-Raphson calcule a raiz de
, contida no intervalo
, com erro
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dado:
- Pede: usar o método de Newton–Raphson para calcular a raiz de
que está no intervalo , com erro . - Informação dada:
- A função é
. - O intervalo onde existe a raiz é
. - A tolerância máxima do erro é
.
- A função é
- Meta prática (como vamos verificar no cálculo): obter uma aproximação
tal que a aproximação seja estável até (vamos usar o critério prático de parada , que é padrão e fácil de aplicar em prova).
Passo 2
Breve explicação do método de Newton–Raphson (a “aula” necessária).
- Ideia: a cada iteração aproximamos a curva
por sua reta tangente no ponto atual e usamos a interseção dessa tangente com o eixo como próxima aproximação . Isso costuma convergir rápido quando a aproximação inicial está razoavelmente perto da raiz e não é zero. - Fórmula de iteração:
- Para aplicar precisamos de
. Aqui:
- Escolha de
: como a raiz está em , um chute natural e simples é o ponto médio . Esse chute satisfaz (logo a fórmula é válida) e costuma funcionar bem.
Passo 3
Primeira iteração a partir de
. Vou mostrar contas detalhadas e explicar cada número.
- Calcular
e :
- Aplicar a fórmula:
- Comentário didático: aqui fiz a conta exatamente em frações para ver que
; em prova isso ajuda a evitar erros de arredondamento inicial.
Passo 4
Segunda iteração (calcular
), com contas exatas quando possível e aproximações decimais apresentadas.
- Avaliar
e . Como podemos calcular exatamente:
- Aplicar Newton:
- Observação: agora
já está bem pequeno (veja próximo passo), o que é sinal de que estamos perto da raiz.
Passo 5
Terceira iteração e critério de parada prático.
- Calcular
e numericamente (mostrando como obter cada valor approximado): - Computando com as aproximações:
(os valores foram obtidos substituindo
nas fórmulas e realizando multiplicações; mantive precisão suficiente para a regra de parada.)
- Próxima iteração:
- Verificar diferença entre iterações:
- Interpretação didática: usamos o critério prático
. Quando isso ocorre e é suave e não é muito pequeno perto da raiz (aqui ), essa diferença é um bom indicativo de que o erro absoluto em relação à raiz real também está abaixo de . Além disso o valor de já era pequeno ( ), o que confirma que estamos dentro da precisão pedida.
Passo 6
Conclusão prática e incentivo (rápido).
- Parando aqui porque o critério
foi satisfeito, a aproximação final é . - Comentário amigo: essa foi uma aplicação típica de Newton — começou com um chute razoável
e em apenas três iterações já alcançamos a precisão pedida. Se em prova ficar com dúvida, repetir duas iterações com mais casas decimais garante segurança.