Para cada um dos polinômios a seguir:
(i) Utilize a Regra de Sinais de Descartes e o Teorema de Sturn para localizar as raízes reais.
(ii) Utilize o método de Newton combinado com o dispositivo de Briot-Ruffini para determinar uma raiz real com precisão
.
a)
(i) Utilize a Regra de Sinais de Descartes e o Teorema de Sturn para localizar as raízes reais.
(ii) Utilize o método de Newton combinado com o dispositivo de Briot-Ruffini para determinar uma raiz real com precisão
a)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para o polinômio
:
(i) Usar a Regra de Sinais de Descartes e o Teorema de Sturm para localizar as raízes reais (isto é, dizer quantas são e em que intervalos elas estão).
(ii) Usar o método de Newton combinado com o dispositivo de Briot–Ruffini (divisão sintética) para determinar uma raiz real com precisão
.
Informações dadas que vamos usar: os coeficientes do polinômio são
. Não há raízes racionais inteiras óbvias (testando
vemos que não anulam
). A seguir faço cada passo pedido, com explicação didática.
Passo 2
Regra de Sinais de Descartes (explicação curta):
- Conta-se o número de mudanças de sinal nas coeficientes de
para obter um máximo de raízes positivas; o número real de raízes positivas é igual a esse número ou a esse número menos um múltiplo de 2. - Faz-se o mesmo para
para estimar o número de raízes negativas.
Aplicando:
- Para
os sinais são . Mudanças de sinal: (nenhuma), (uma), (nenhuma). Logo há exatamente uma raiz positiva. - Para
os sinais são . Mudanças: (uma), (nenhuma), (uma). Logo há ou raízes negativas.
Conclusão provisória pela Regra de Descartes: há exatamente uma raiz positiva e ou duas ou zero raízes negativas. Como o grau é 3, as possibilidades são: (i) três raízes reais (1 positiva e 2 negativas) ou (ii) uma única raiz real (positiva) e duas complexas conjugadas. Para decidir qual caso é verdadeiro vamos usar Sturm.
Passo 3
Teorema de Sturm (ideia didática curta):
- Constrói-se uma sequência de polinômios chamada sequência de Sturm:
e, para , onde é o resto da divisão polinomial. A sequência termina quando o resto for constante. - Avaliando essa sequência em um ponto
conta-se o número de mudanças de sinal dos valores; a diferença entre o número de mudanças em e em dá o número de raízes reais em .
Vou construir a sequência de Sturm para o nosso polinômio, mostrando as contas principais.
Começo com
Agora computar o resto de
dividido por
:
fazendo a divisão polinomial obtém-se (mostro somente o resultado racional):
fazendo a divisão polinomial obtém-se (mostro somente o resultado racional):
Portanto
(Nota: multipliquei por
quando conveniente para obter inteiros durante cálculos, mas para sinais isso não altera.)
Agora o resto de
por
. Após efetuar a divisão (cálculo mostrado nos passos intermédios), o resto é constante
Então
que é uma constante positiva. A sequência de Sturm termina aqui (grau decresce até constante).
Resumindo a sequência (escrita em forma simplificada):
Passo 4
Agora uso a sequência para contar sinais em
e
e em pontos testados, para localizar intervalos com raízes.
Comportamento em infinito:
- Para
: sinais dos termos dominantes são . Logo número de variações . - Para
: (grau 3) é negativo, (grau 2) é positivo, (linear) é negativo, positivo. Sequência de sinais tem variações, então .
Pelo Teorema de Sturm, número total de raízes reais em
é
. Assim confirmamos que há três raízes reais distintas (caso com 1 real e 2 complexas está descartado).
Para localizar intervalos mais concretos, avalio a sequência em pontos convenientes e conto variações em cada ponto:
Avaliações úteis (calculei
para escolher intervalos):
-
(negativo), -
(positivo), -
(positivo), -
(negativo), -
(positivo).
Agora avaliação dos sinais da sequência de Sturm nesses pontos (apenas os sinais, usando os polinômios já apresentados):
- Em
: , , , ⇒ variações . - Em
: , , , ⇒ . - Em
: , , , ⇒ . - Em
: todos positivos ⇒ .
Usando diferenças
obtemos o número de raízes em vários intervalos:
- Em
: raiz.
(Com as avaliações diretase vemos que essa raiz está em .) - Em
: raízes. - Em
: raiz (e pelos sinais de e essa raiz está em ). - Em
: raiz (e pelos sinais , essa raiz está em ).
Resumo da localização (intervalos que garantem pelo Teorema de Sturm + Teorema do Valor Intermediário):
- Uma raiz em
. - Uma raiz em
. - Uma raiz em
.
Esses intervalos já localizam as três raízes reais; agora vamos calcular numericamente uma delas com Newton + Briot–Ruffini.
Passo 5
Método de Newton (explicação didática curta):
- Fórmula de iteração:
. - Escolhe-se um chute inicial
dentro do intervalo que contém a raiz; o método costuma convergir rápido se o chute não for muito ruim. - Critério de parada usado aqui:
com .
Escolho encontrar a raiz positiva (intervalo
). Como chute inicial prático escolho
(porque
e
). Vou mostrar as iterações até atingir a precisão pedida.
Lembro as funções:
Iterações (computações aproximadas com arredondamento adequado):
- Iteração 0:
.
- Iteração 1:
.
- Iteração 2:
.
Calculei (valores aproximados)
Diferença
, ainda não satisfaz a precisão pedida.
- Iteração 3:
.
Diferença
. Portanto o critério
é satisfeito.
Conclusão do Newton: uma raiz aproximada é
Arredondando com a precisão pedida
, podemos apresentar
.
Passo 6
Dispositivo de Briot–Ruffini (divisão sintética) — uso para verificar a raiz e deflacionar o polinômio:
- Coeficientes de
: . - Uso a raiz aproximada
e aplico a divisão sintética para obter o quociente (grau 2) e o resto.
Procedimento (síntese dos passos da divisão sintética):
- Trago o primeiro coeficiente:
. - Multiplico
por e somo ao segundo coeficiente:
- Multiplico
por e somo ao terceiro coeficiente:
- Multiplico
por e somo ao quarto coeficiente (resto):
resto(próximo de zero, mostra que é boa aproximação).
Assim o quociente é aproximadamente
com resto muito pequeno (próximo de zero), o que confirma a raiz encontrada.
Como curiosidade (opcional), resolvendo
pelo fórmula quadrática obtemos as outras duas raízes aproximadas (apenas para completar a imagem):
- Discriminante aproximado
, . - Raízes:
o que dá aproximadamente e , concordando com os intervalos negativos localizados anteriormente.
Resposta
(i) Há três raízes reais. Elas estão localizadas em
,
e
.
(ii) Uma raiz real obtida por Newton (com ) é
.
(ii) Uma raiz real obtida por Newton (com