Para cada um dos polinômios a seguir:
(i) Utilize a Regra de Sinais de Descartes e o Teorema de Sturn para localizar as raízes reais.
(ii) Utilize o método de Newton combinado com o dispositivo de Briot-Ruffini para determinar uma raiz real com precisão \epsilon=0.001.
a) P(x)=x^{3}+8 x^{2}-4 x-2=0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para o polinômio P(x)=x^{3}+8x^{2}-4x-2:
(i) Usar a Regra de Sinais de Descartes e o Teorema de Sturm para localizar as raízes reais (isto é, dizer quantas são e em que intervalos elas estão).
(ii) Usar o método de Newton combinado com o dispositivo de Briot–Ruffini (divisão sintética) para determinar uma raiz real com precisão \epsilon=0{,}001.
Informações dadas que vamos usar: os coeficientes do polinômio são 1,8,-4,-2. Não há raízes racionais inteiras óbvias (testando \pm1,\pm2 vemos que não anulam P). A seguir faço cada passo pedido, com explicação didática.

Passo 2

Regra de Sinais de Descartes (explicação curta):
  • Conta-se o número de mudanças de sinal nas coeficientes de P(x) para obter um máximo de raízes positivas; o número real de raízes positivas é igual a esse número ou a esse número menos um múltiplo de 2.
  • Faz-se o mesmo para P(-x) para estimar o número de raízes negativas.
Aplicando:
  • Para P(x)=x^{3}+8x^{2}-4x-2 os sinais são +,+,-,-. Mudanças de sinal: +\to+ (nenhuma), +\to- (uma), -\to- (nenhuma). Logo há exatamente uma raiz positiva.
  • Para P(-x)=-x^{3}+8x^{2}+4x-2 os sinais são -,+,+,-. Mudanças: -\to+ (uma), +\to+ (nenhuma), +\to- (uma). Logo há 2 ou 0 raízes negativas.
Conclusão provisória pela Regra de Descartes: há exatamente uma raiz positiva e ou duas ou zero raízes negativas. Como o grau é 3, as possibilidades são: (i) três raízes reais (1 positiva e 2 negativas) ou (ii) uma única raiz real (positiva) e duas complexas conjugadas. Para decidir qual caso é verdadeiro vamos usar Sturm.

Passo 3

Teorema de Sturm (ideia didática curta):
  • Constrói-se uma sequência de polinômios chamada sequência de Sturm: P_{0}(x)=P(x),\qquad P_{1}(x)=P'(x),e, para k\ge1, P_{k+1}(x)=-\operatorname{rem}\bigl(P_{k-1},P_{k}\bigr),onde \operatorname{rem} é o resto da divisão polinomial. A sequência termina quando o resto for constante.
  • Avaliando essa sequência em um ponto x conta-se o número de mudanças de sinal dos valores; a diferença entre o número de mudanças em a e em b dá o número de raízes reais em (a,b].
Vou construir a sequência de Sturm para o nosso polinômio, mostrando as contas principais.
Começo com
P_{0}(x)=x^{3}+8x^{2}-4x-2, \qquad P_{1}(x)=P'(x)=3x^{2}+16x-4.
Agora computar o resto de P_{0} dividido por P_{1}:
fazendo a divisão polinomial obtém-se (mostro somente o resultado racional):
\operatorname{rem}(P_{0},P_{1})=\,-\frac{152}{9}x+\frac{14}{9}.
Portanto
P_{2}(x)=-\operatorname{rem}(P_{0},P_{1})=\frac{152}{9}x-\frac{14}{9}.
(Nota: multipliquei por 9 quando conveniente para obter inteiros durante cálculos, mas para sinais isso não altera.)
Agora o resto de P_{1} por P_{2}. Após efetuar a divisão (cálculo mostrado nos passos intermédios), o resto é constante
\operatorname{rem}(P_{1},P_{2})=-\frac{130005}{51984}.
Então
P_{3}(x)=-\operatorname{rem}(P_{1},P_{2})=\frac{130005}{51984},
que é uma constante positiva. A sequência de Sturm termina aqui (grau decresce até constante).
Resumindo a sequência (escrita em forma simplificada):
P_{0}(x)=x^{3}+8x^{2}-4x-2,
P_{1}(x)=3x^{2}+16x-4,
P_{2}(x)=\tfrac{152}{9}x-\tfrac{14}{9},
P_{3}(x)=\tfrac{130005}{51984}\quad(\text{constante}>0).

Passo 4

Agora uso a sequência para contar sinais em +\infty e -\infty e em pontos testados, para localizar intervalos com raízes.
Comportamento em infinito:
  • Para x\to +\infty: sinais dos termos dominantes são P_{0}>0,\;P_{1}>0,\;P_{2}>0,\;P_{3}>0. Logo número de variações V(+\infty)=0.
  • Para x\to -\infty: P_{0} (grau 3) é negativo, P_{1} (grau 2) é positivo, P_{2} (linear) é negativo, P_{3} positivo. Sequência de sinais -,+,-,+ tem 3 variações, então V(-\infty)=3.
Pelo Teorema de Sturm, número total de raízes reais em (-\infty,+\infty) é V(-\infty)-V(+\infty)=3-0=3. Assim confirmamos que há três raízes reais distintas (caso com 1 real e 2 complexas está descartado).
Para localizar intervalos mais concretos, avalio a sequência em pontos convenientes e conto variações em cada ponto:
Avaliações úteis (calculei P para escolher intervalos):
  • P(-10)=-162 (negativo),
  • P(-3)=55 (positivo),
  • P(-2)=30 (positivo),
  • P(0)=-2 (negativo),
  • P(1)=3 (positivo).
Agora avaliação dos sinais da sequência de Sturm nesses pontos (apenas os sinais, usando os polinômios já apresentados):
  • Em x=-3: P_{0}(-3)=+, P_{1}(-3)=-, P_{2}(-3)=-, P_{3}=+ ⇒ variações V(-3)=2.
  • Em x=-2: P_{0}(-2)=+, P_{1}(-2)=-, P_{2}(-2)=-, P_{3}=+ V(-2)=2.
  • Em x=0: P_{0}(0)=-, P_{1}(0)=-, P_{2}(0)=-, P_{3}=+ V(0)=1.
  • Em x=1: todos positivos ⇒ V(1)=0.
Usando diferenças V(a)-V(b) obtemos o número de raízes em vários intervalos:
  • Em (-\infty,-3]: V(-\infty)-V(-3)=3-2=1 raiz.
    (Com as avaliações diretas P(-10)=-162 e P(-3)=55 vemos que essa raiz está em (-10,-3).)
  • Em (-3,-2]: V(-3)-V(-2)=2-2=0 raízes.
  • Em (-2,0]: V(-2)-V(0)=2-1=1 raiz (e pelos sinais de P(-2)=30 e P(0)=-2 essa raiz está em (-2,0)).
  • Em (0,1]: V(0)-V(1)=1-0=1 raiz (e pelos sinais P(0)=-2, P(1)=3 essa raiz está em (0,1)).
Resumo da localização (intervalos que garantem pelo Teorema de Sturm + Teorema do Valor Intermediário):
  • Uma raiz em (-10,-3).
  • Uma raiz em (-2,0).
  • Uma raiz em (0,1).
Esses intervalos já localizam as três raízes reais; agora vamos calcular numericamente uma delas com Newton + Briot–Ruffini.

Passo 5

Método de Newton (explicação didática curta):
  • Fórmula de iteração: \displaystyle x_{n+1}=x_{n}-\frac{P(x_{n})}{P'(x_{n})}.
  • Escolhe-se um chute inicial x_{0} dentro do intervalo que contém a raiz; o método costuma convergir rápido se o chute não for muito ruim.
  • Critério de parada usado aqui: |x_{n+1}-x_{n}|<\epsilon com \epsilon=0{,}001.
Escolho encontrar a raiz positiva (intervalo (0,1)). Como chute inicial prático escolho x_{0}=1 (porque P(1)=3 e P(0)=-2). Vou mostrar as iterações até atingir a precisão pedida.
Lembro as funções:
P(x)=x^{3}+8x^{2}-4x-2,\qquad P'(x)=3x^{2}+16x-4.
Iterações (computações aproximadas com arredondamento adequado):
  • Iteração 0: x_{0}=1. P(1)=3,\qquad P'(1)=15.
x_{1}=1-\frac{3}{15}=1-0{,}2=0{,}8.
  • Iteração 1: x_{1}=0{,}8. P(0{,}8)=0{,}512+5{,}12-3{,}2-2=0{,}432, \qquad P'(0{,}8)=3(0{,}64)+12{,}8-4=10{,}72.
x_{2}=0{,}8-\frac{0{,}432}{10{,}72}\approx 0{,}759701493.
  • Iteração 2: x_{2}\approx0{,}759701493.
    Calculei (valores aproximados) P(x_{2})\approx0{,}016824,\qquad P'(x_{2})\approx9{,}886662.
x_{3}=x_{2}-\frac{P(x_{2})}{P'(x_{2})}\approx 0{,}759701493-\frac{0{,}016824}{9{,}886662}\approx 0{,}7580005.
Diferença |x_{3}-x_{2}|\approx0{,}001701>0{,}001, ainda não satisfaz a precisão pedida.
  • Iteração 3: x_{3}\approx0{,}7580005. P(x_{3})\approx0{,}000193,\qquad P'(x_{3})\approx9{,}851702.
x_{4}=x_{3}-\frac{0{,}000193}{9{,}851702}\approx0{,}7579809.
Diferença |x_{4}-x_{3}|\approx0{,}0000196<0{,}001. Portanto o critério |x_{n+1}-x_{n}|<\epsilon é satisfeito.
Conclusão do Newton: uma raiz aproximada é
x\approx 0{,}7579809.
Arredondando com a precisão pedida \epsilon=0{,}001, podemos apresentar x\approx0{,}758.

Passo 6

Dispositivo de Briot–Ruffini (divisão sintética) — uso para verificar a raiz e deflacionar o polinômio:
  • Coeficientes de P: 1,\;8,\;-4,\;-2.
  • Uso a raiz aproximada \alpha=0{,}7579809 e aplico a divisão sintética para obter o quociente (grau 2) e o resto.
Procedimento (síntese dos passos da divisão sintética):
  1. Trago o primeiro coeficiente: b_{0}=1.
  2. Multiplico b_{0} por \alpha e somo ao segundo coeficiente:
    b_{1}=8 + 1\cdot\alpha \approx 8{,}7579809.
  3. Multiplico b_{1} por \alpha e somo ao terceiro coeficiente:
    b_{2}=-4 + b_{1}\alpha \approx -4 + 8{,}7579809\cdot0{,}7579809 \approx 2{,}63837.
  4. Multiplico b_{2} por \alpha e somo ao quarto coeficiente (resto):
    resto \approx -2 + 2{,}63837\cdot0{,}7579809 \approx -0{,}00012 (próximo de zero, mostra que \alpha é boa aproximação).
Assim o quociente é aproximadamente
Q(x)=x^{2}+8{,}7579809\,x+2{,}63837,
com resto muito pequeno (próximo de zero), o que confirma a raiz encontrada.
Como curiosidade (opcional), resolvendo Q(x)=0 pelo fórmula quadrática obtemos as outras duas raízes aproximadas (apenas para completar a imagem):
  • Discriminante aproximado \Delta\approx66{,}14875, \sqrt{\Delta}\approx8{,}1336.
  • Raízes: x\approx\frac{-8{,}75798\pm8{,}1336}{2},o que dá aproximadamente x\approx -0{,}3122 e x\approx -8{,}4458, concordando com os intervalos negativos localizados anteriormente.

Resposta

(i) Há três raízes reais. Elas estão localizadas em (-10,-3), (-2,0) e (0,1).
(ii) Uma raiz real obtida por Newton (com \epsilon=0{,}001) é x\approx0{,}758.

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