Considere a função
dada por
e definida na região plana triangular limitada pelo triângulo de vértices
e
. Determine
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede para determinar
, ou seja, o conjunto de todos os valores possíveis de
quando
varia na região triangular com vértices
,
e
. Informações relevantes que temos do enunciado:
- A função é
. - O domínio é o triângulo fechado com vértices
, e . Esse triângulo pode ser descrito como
- A tarefa é encontrar todos os valores reais que
assume quando .
Passo 2
Primeira observação útil (teórica e prática): a função
é contínua em todo
(produto e soma de funções polinomiais) e o domínio
é fechado e limitado (compacto). Pelo Teorema do Valor Extremo, uma função contínua em um conjunto compacto atinge seu valor mínimo e máximo no conjunto; logo
terá mínimo e máximo em
. Isso garante que
será um intervalo fechado. Vou encontrar esses extremos. Nota: como
, é suficiente achar os extremos de
em
e depois somar
.
Passo 3
Achar o valor mínimo de
em
.
- Observação simples: em
temos e , então o produto é não negativo. Logo para todo . - Além disso, nos pontos sobre os eixos
ou (por exemplo os vértices , e ) o produto é exatamente . Portanto o menor valor possível de em é e esse mínimo é atingido (por exemplo em ). - Conclusão parcial:
Passo 4
Achar o valor máximo de
em
.
Vou usar duas maneiras para justificar e ficar bem didático; ambas chegam ao mesmo resultado.
Método A — raciocínio por soma fixa:
- Para um dado valor da soma
com , se fixarmos então e o produto vira função de :
Essa é uma parábola em
com concavidade para baixo; o máximo ocorre no vértice da parábola, em
. Substituindo,
- Agora variamos
no intervalo . A função é crescente para , então seu máximo em ocorre em , e vale
- O ponto que realiza isso é quando
e , portanto em temos .
Método B — restringindo à hipotenusa:
- A hipotenusa do triângulo é dada por
. No interior do triângulo (onde ) o valor de para mesma soma é menor que ou igual ao da soma igual a ; portanto o máximo absoluto ocorre no máximo possível de soma, que é . Substituindo e maximizando obtemos derivada , zerando em e valor . Isso confirma o método anterior. - Conclusão parcial:
atingido em
.
Passo 5
Juntando mínimos e máximos para
: o conjunto de valores possíveis de
quando
é o intervalo fechado
Como
, a imagem de
é esse intervalo deslocado para cima por
. Portanto a imagem é