Considere a função g dada por g(x, y)=x y+2 e definida na região plana triangular limitada pelo triângulo de vértices (0,0),(6,0) e (0,6). Determine \operatorname{Im}(g).

Passo 1

O enunciado dá a função g definida por g(x,y)=xy+2 e pede para determinar \operatorname{Im}(g), ou seja, o conjunto de todos os valores possíveis de g(x,y) quando (x,y) varia na região triangular com vértices (0,0), (6,0) e (0,6). Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A função é g(x,y)=xy+2.
  • O domínio é o triângulo fechado com vértices (0,0), (6,0) e (0,6). Esse triângulo pode ser descrito como
D=\{(x,y)\mid x\ge 0,\; y\ge 0,\; x+y\le 6\}.
  • A tarefa é encontrar todos os valores reais que g(x,y) assume quando (x,y)\in D.

Passo 2

Primeira observação útil (teórica e prática): a função g é contínua em todo \mathbb{R}^2 (produto e soma de funções polinomiais) e o domínio D é fechado e limitado (compacto). Pelo Teorema do Valor Extremo, uma função contínua em um conjunto compacto atinge seu valor mínimo e máximo no conjunto; logo g terá mínimo e máximo em D. Isso garante que \operatorname{Im}(g) será um intervalo fechado. Vou encontrar esses extremos. Nota: como g(x,y)=xy+2, é suficiente achar os extremos de f(x,y)=xy em D e depois somar 2.

Passo 3

Achar o valor mínimo de f(x,y)=xy em D.
  • Observação simples: em D temos x\ge 0 e y\ge 0, então o produto xy é não negativo. Logo xy\ge 0 para todo (x,y)\in D.
  • Além disso, nos pontos sobre os eixos x=0 ou y=0 (por exemplo os vértices (0,0), (6,0) e (0,6)) o produto é exatamente 0. Portanto o menor valor possível de xy em D é 0 e esse mínimo é atingido (por exemplo em (0,0)).
  • Conclusão parcial:
\min_{(x,y)\in D} xy = 0.

Passo 4

Achar o valor máximo de f(x,y)=xy em D.
Vou usar duas maneiras para justificar e ficar bem didático; ambas chegam ao mesmo resultado.
Método A — raciocínio por soma fixa:
  • Para um dado valor da soma s=x+y com 0\le s\le 6, se fixarmos s então y=s-x e o produto vira função de x:
xy = x(s-x) = -x^2 + sx.
Essa é uma parábola em x com concavidade para baixo; o máximo ocorre no vértice da parábola, em x=\dfrac{s}{2}. Substituindo,
\max_{x\in[0,s]} x(s-x) = \left(\frac{s}{2}\right)\left(s-\frac{s}{2}\right)=\frac{s^2}{4}.
  • Agora variamos s no intervalo [0,6]. A função s\mapsto \dfrac{s^2}{4} é crescente para s\ge 0, então seu máximo em [0,6] ocorre em s=6, e vale
\frac{6^2}{4}=\frac{36}{4}=9.
  • O ponto que realiza isso é quando s=6 e x=\dfrac{s}{2}=3, portanto em (x,y)=(3,3) temos xy=9.
Método B — restringindo à hipotenusa:
  • A hipotenusa do triângulo é dada por x+y=6. No interior do triângulo (onde x+y<6) o valor de xy para mesma soma é menor que ou igual ao da soma igual a 6; portanto o máximo absoluto ocorre no máximo possível de soma, que é 6. Substituindo y=6-x e maximizando x(6-x)=6x-x^2 obtemos derivada 6-2x, zerando em x=3 e valor 9. Isso confirma o método anterior.
  • Conclusão parcial:
\max_{(x,y)\in D} xy = 9,
atingido em (3,3).

Passo 5

Juntando mínimos e máximos para f(x,y)=xy: o conjunto de valores possíveis de xy quando (x,y)\in D é o intervalo fechado
[0,9].
Como g(x,y)=xy+2, a imagem de g é esse intervalo deslocado para cima por 2. Portanto a imagem é
[0+2,\;9+2]=[2,11].

Resposta

[2,11]

Exercícios relacionados