Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} a função dada por f(x, y)=\mathrm{e}^{x^{2}-x y+3 x}.
(a) Determine uma equação para o plano tangente ao gráfico de f no ponto (0,0, f(0,0)).
(b) Determine os pontos críticos de f.
(c) Classifique os pontos críticos de f quanto a máximo local, mínimo local ou sela.

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por
f(x,y)=\mathrm{e}^{x^{2}-x y+3 x}.
As perguntas são três, separadas:
(a) Determinar uma equação para o plano tangente ao gráfico de f no ponto (0,0,f(0,0)).
(b) Determinar os pontos críticos de f.
(c) Classificar esses pontos críticos como máximo local, mínimo local ou sela.
Informações relevantes dadas:
  • A fórmula explícita de f(x,y).
  • O ponto específico para a parte (a) é (0,0,f(0,0)).
  • Sabemos implicitamente que \mathrm{e}^{\cdot}>0 para qualquer argumento (isto vai facilitar resolver equações envolvendo f).

Passo 2

Conceito e fórmula do plano tangente (aula rápida e prática).
  • Para uma função f(x,y) diferenciável num ponto (a,b), o plano tangente ao gráfico em (a,b,f(a,b)) é dado pela aproximação linear (linearização)
L(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)\,(x-a)+f_y(a,b)\,(y-b),
onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f. Essa fórmula vem da expansão de primeira ordem: o plano tangente é a melhor aproximação afim de f perto do ponto. Aqui, f_x(a,b) significa a derivada parcial de f em relação a x avaliada em (a,b), e f_y(a,b) análogo para y.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f (cadeia e produto, passo-a-passo).
  • Primeiro, definimos o expoente
\varphi(x,y)=x^2-xy+3x.
Então f(x,y)=\mathrm{e}^{\varphi(x,y)}. Pela regra da cadeia, a derivada parcial de f em relação a x é
f_x(x,y)=\frac{\partial \varphi}{\partial x}(x,y)\,\mathrm{e}^{\varphi(x,y)}.
Calculamos \frac{\partial \varphi}{\partial x}:
\frac{\partial \varphi}{\partial x}(x,y)=2x-y+3.
Logo
f_x(x,y)=(2x-y+3)\,\mathrm{e}^{x^{2}-xy+3x}.
Analogamente, para y,
f_y(x,y)=\frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,y)\,\mathrm{e}^{\varphi(x,y)},
e
\frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,y)=-x,
portanto
f_y(x,y)=-x\,\mathrm{e}^{x^{2}-xy+3x}.
Explicação curta: usamos a regra da cadeia porque f é uma composição da exponencial com \varphi; derivada da exponencial é ela mesma multiplicada pela derivada do expoente.

Passo 4

Avaliar as derivadas no ponto dado e montar o plano tangente.
  • Calcule f(0,0):
f(0,0)=\mathrm{e}^{0^{2}-0\cdot0+3\cdot0}=\mathrm{e}^{0}=1.
  • Avalie f_x e f_y em (0,0). Usando as fórmulas acima:
f_x(0,0)=(2\cdot0-0+3)\,\mathrm{e}^{0}=3\cdot1=3,
f_y(0,0)=-0\cdot\mathrm{e}^{0}=0.
  • Agora aplicamos a fórmula do plano tangente com (a,b)=(0,0):
L(x,y)=f(0,0)+f_x(0,0)(x-0)+f_y(0,0)(y-0).
Substituindo valores:
L(x,y)=1+3x+0\cdot y.
Portanto a equação do plano tangente é
z=1+3x.

Passo 5

Encontrar os pontos críticos (explicando o que é ponto crítico).
  • Definição prática: um ponto (x,y) é crítico se o gradiente de f for nulo ali, isto é, se
\nabla f(x,y)=(f_x(x,y),\,f_y(x,y))=(0,0).
  • Usamos as expressões já obtidas:
f_x(x,y)=(2x-y+3)\,\mathrm{e}^{x^{2}-xy+3x},\qquad f_y(x,y)=-x\,\mathrm{e}^{x^{2}-xy+3x}.
  • Observação importante (muito útil em provas): \mathrm{e}^{x^{2}-xy+3x}>0 para todo (x,y), então não pode anular; logo para que cada componente do gradiente seja zero basta que os fatores lineares sejam zero. Assim resolvemos o sistema
2x-y+3=0,\qquad -x=0.
Da segunda equação vem x=0. Substituindo na primeira:
2\cdot0-y+3=0\implies -y+3=0\implies y=3.
  • Conclusão: existe um único ponto crítico, (0,3).

Passo 6

Classificar o ponto crítico usando a matriz Hessiana e o teste das derivadas segundas (aula prática).
  • Regra (teste das segundas derivadas para duas variáveis): calcule as derivadas segundas f_{xx},f_{xy},f_{yy} no ponto crítico e forme o determinante
D=f_{xx}f_{yy}-\bigl(f_{xy}\bigr)^2.
Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local; se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local; se D<0 então ponto de sela; se D=0 o teste é inconclusivo.
  • Vamos calcular as derivadas segundas explicitamente, usando produto e cadeia. Lembrando \varphi(x,y)=x^2-xy+3x, com derivadas já usadas:
\phi_x=2x-y+3,\qquad \phi_y=-x.
Derivando f_x=\phi_x\,\mathrm{e}^{\varphi} em relação a x:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(\phi_x\,\mathrm{e}^{\varphi})=\phi_{xx}\,\mathrm{e}^{\varphi}+\phi_x\phi_x\,\mathrm{e}^{\varphi}=(\phi_{xx}+\phi_x^{2})\,\mathrm{e}^{\varphi}.
Aqui \phi_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(2x-y+3)=2.
Derivando f_x em relação a y:
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(\phi_x\,\mathrm{e}^{\varphi})=\phi_{xy}\,\mathrm{e}^{\varphi}+\phi_x\phi_y\,\mathrm{e}^{\varphi}=(\phi_{xy}+\phi_x\phi_y)\,\mathrm{e}^{\varphi}.
Aqui \phi_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(2x-y+3)=-1.
Derivando f_y=\phi_y\,\mathrm{e}^{\varphi} em relação a y:
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(\phi_y\,\mathrm{e}^{\varphi})=\phi_{yy}\,\mathrm{e}^{\varphi}+\phi_y\phi_y\,\mathrm{e}^{\varphi}=(\phi_{yy}+\phi_y^{2})\,\mathrm{e}^{\varphi}.
Aqui \phi_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(-x)=0.

Passo 7

Avaliar as segundas derivadas no ponto crítico (0,3) e aplicar o teste.
  • Primeiro calcule \varphi, \phi_x, \phi_y em (0,3):
\varphi(0,3)=0^{2}-0\cdot3+3\cdot0=0,\qquad \phi_x(0,3)=2\cdot0-3+3=0,\qquad \phi_y(0,3)=-0=0.
  • Como \mathrm{e}^{\varphi(0,3)}=\mathrm{e}^{0}=1, as fórmulas das segundas derivadas ficam simples:
f_{xx}(0,3)=(\phi_{xx}+\phi_x^{2})(0,3)=2+0^{2}=2,
f_{xy}(0,3)=(\phi_{xy}+\phi_x\phi_y)(0,3)=-1+0\cdot0=-1,
f_{yy}(0,3)=(\phi_{yy}+\phi_y^{2})(0,3)=0+0^{2}=0.
  • Calcule o discriminante D:
D=f_{xx}(0,3)\,f_{yy}(0,3)-\bigl(f_{xy}(0,3)\bigr)^2=2\cdot0-(-1)^2=-1.
  • Conclusão do teste: D=-1<0, logo o ponto crítico (0,3) é um ponto de sela (saddle point). Explicação intuitiva: sinais opostos nas direções principais causam comportamento de subida em algumas direções e descida em outras, típico de sela.

Resposta

(a) z=1+3x
(b) (0,3)
(c) (0,3) é um ponto de sela.

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