Seja
a função dada por
.
(a) Determine uma equação para o plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
(b) Determine os pontos críticos de
.
(c) Classifique os pontos críticos de
quanto a máximo local, mínimo local ou sela.
(a) Determine uma equação para o plano tangente ao gráfico de
(b) Determine os pontos críticos de
(c) Classifique os pontos críticos de
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
As perguntas são três, separadas:
(a) Determinar uma equação para o plano tangente ao gráfico de no ponto
.
(b) Determinar os pontos críticos de .
(c) Classificar esses pontos críticos como máximo local, mínimo local ou sela.
(a) Determinar uma equação para o plano tangente ao gráfico de
(b) Determinar os pontos críticos de
(c) Classificar esses pontos críticos como máximo local, mínimo local ou sela.
Informações relevantes dadas:
- A fórmula explícita de
. - O ponto específico para a parte (a) é
. - Sabemos implicitamente que
para qualquer argumento (isto vai facilitar resolver equações envolvendo ).
Passo 2
Conceito e fórmula do plano tangente (aula rápida e prática).
- Para uma função
diferenciável num ponto , o plano tangente ao gráfico em é dado pela aproximação linear (linearização)
onde
e
são as derivadas parciais de
. Essa fórmula vem da expansão de primeira ordem: o plano tangente é a melhor aproximação afim de
perto do ponto. Aqui,
significa a derivada parcial de
em relação a
avaliada em
, e
análogo para
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
(cadeia e produto, passo-a-passo).
- Primeiro, definimos o expoente
Então
. Pela regra da cadeia, a derivada parcial de
em relação a
é
Calculamos
:
Logo
Analogamente, para
,
e
portanto
Explicação curta: usamos a regra da cadeia porque
é uma composição da exponencial com
; derivada da exponencial é ela mesma multiplicada pela derivada do expoente.
Passo 4
Avaliar as derivadas no ponto dado e montar o plano tangente.
- Calcule
:
- Avalie
e em . Usando as fórmulas acima:
- Agora aplicamos a fórmula do plano tangente com
:
Substituindo valores:
Portanto a equação do plano tangente é
Passo 5
Encontrar os pontos críticos (explicando o que é ponto crítico).
- Definição prática: um ponto
é crítico se o gradiente de for nulo ali, isto é, se
- Usamos as expressões já obtidas:
- Observação importante (muito útil em provas):
para todo , então não pode anular; logo para que cada componente do gradiente seja zero basta que os fatores lineares sejam zero. Assim resolvemos o sistema
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira:
- Conclusão: existe um único ponto crítico,
.
Passo 6
Classificar o ponto crítico usando a matriz Hessiana e o teste das derivadas segundas (aula prática).
- Regra (teste das segundas derivadas para duas variáveis): calcule as derivadas segundas
no ponto crítico e forme o determinante
Se
e
então mínimo local; se
e
então máximo local; se
então ponto de sela; se
o teste é inconclusivo.
- Vamos calcular as derivadas segundas explicitamente, usando produto e cadeia. Lembrando
, com derivadas já usadas:
Derivando
em relação a
:
Aqui
.
Derivando em relação a
:
Derivando
Aqui
.
Derivando em relação a
:
Derivando
Aqui
.
Passo 7
Avaliar as segundas derivadas no ponto crítico
e aplicar o teste.
- Primeiro calcule
, , em :
- Como
, as fórmulas das segundas derivadas ficam simples:
- Calcule o discriminante
:
- Conclusão do teste:
, logo o ponto crítico é um ponto de sela (saddle point). Explicação intuitiva: sinais opostos nas direções principais causam comportamento de subida em algumas direções e descida em outras, típico de sela.
Resposta
(a)
(b)
(c)
é um ponto de sela.