Considere o triângulo \mathcal{T} de vértices (-9 / 5,0),(-9 / 5,-9) e (0,-9) e a função f(x, y)=x y-x. Para qual(quais) ponto(s) ( x, y ) de \mathcal{T}, f(x, y) tem valor máximo?

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=xy-x definida no triângulo \mathcal{T} cujos vértices são \left(-\frac{9}{5},0\right), \left(-\frac{9}{5},-9\right) e (0,-9). A pergunta é: em quais ponto(s) (x,y) pertencentes a \mathcal{T} a função f atinge seu valor máximo?
Informações importantes que temos: as três coordenadas dos vértices do triângulo e a expressão explícita de f(x,y). A região \mathcal{T} é fechada e limitada (um triângulo), portanto f atinge máximo e mínimo em \mathcal{T}.

Passo 2

Estratégia (explicada passo a passo): para funções contínuas num conjunto compacto (como este triângulo) os extremos ocorrem ou em pontos críticos do interior (onde o gradiente é zero) ou na fronteira do conjunto. Então vamos:
  1. Procurar pontos críticos no interior de \mathcal{T} resolvendo \nabla f = 0.
  2. Se não houver pontos críticos no interior, ou mesmo se houver, avaliar f na fronteira (cada aresta do triângulo). A fronteira é formada por três segmentos de reta; em cada segmento parametrize ou substitua a equação da reta e reduza o problema a uma função de uma variável, e então encontre máximos nessa intervalo (avaliando extremos interiores e endpoints).
Antes de calcular: o gradiente \nabla f é o vetor das derivadas parciais. A derivada parcial em relação a x, denotada \frac{\partial f}{\partial x} ou f_x, mede a taxa de variação de f quando x muda e y fica fixo. Similar para f_y.
Calculemos as derivadas parciais:
f_x = \frac{\partial}{\partial x}(xy - x)=y-1,
f_y = \frac{\partial}{\partial y}(xy - x)=x.
Pontos críticos satisfazem \nabla f = (0,0), ou seja o sistema
y-1=0,\qquad x=0.
Daí obtemos o ponto (0,1). Esse ponto não pertence a \mathcal{T} porque em \mathcal{T} as ordenadas y variam entre -9 e 0. Conclusão: não há pontos críticos do interior em \mathcal{T}. Logo o máximo deve acontecer na fronteira do triângulo.

Passo 3

Identificamos as três arestas da fronteira e tratamos cada uma separadamente.
Aresta 1: entre A=\left(-\frac{9}{5},0\right) e B=\left(-\frac{9}{5},-9\right).
Aqui x é constante: x=-\frac{9}{5} e y varia em [-9,0]. Substituindo em f:
f\Bigl(-\frac{9}{5},y\Bigr) = \left(-\frac{9}{5}\right)y -\left(-\frac{9}{5}\right) = -\frac{9}{5}(y-1).
Isto é uma função linear em y. Funções lineares em um intervalo são monótonas, portanto atingem extremos nos endpoints do intervalo. Avaliando nos endpoints:
f\Bigl(-\frac{9}{5},0\Bigr) = -\frac{9}{5}(0-1)=\frac{9}{5},
f\Bigl(-\frac{9}{5},-9\Bigr) = -\frac{9}{5}(-9-1)= -\frac{9}{5}(-10)=\frac{90}{5}=18.

Passo 4

Aresta 2: entre B=\left(-\frac{9}{5},-9\right) e C=(0,-9).
Aqui y=-9 é constante e x varia em \left[-\frac{9}{5},0\right]. Substituindo:
f(x,-9)=x(-9)-x=-10x.
Também é linear em x, logo extremos nos endpoints:
f\Bigl(-\frac{9}{5},-9\Bigr) = -10\left(-\frac{9}{5}\right)=18 \quad(\text{confirma o valor anterior}),
f(0,-9)=0.

Passo 5

Aresta 3: entre C=(0,-9) e A=\left(-\frac{9}{5},0\right).
Vamos achar a equação da reta que passa por esses pontos. A inclinação é
m=\frac{-9-0}{0-(-9/5)}=\frac{-9}{9/5}=-5.
Usando ponto A ou C, a reta tem equação
y=-5x-9.
Nessa aresta x varia em \left[-\frac{9}{5},0\right]. Substituindo em f:
f\bigl(x,-5x-9\bigr)=x(-5x-9)-x = -5x^2-9x-x = -5x^2-10x.
Agora temos um problema de uma variável: maximizar g(x)=-5x^2-10x em \left[-\frac{9}{5},0\right].
Vamos derivar para encontrar extremos internos:
g'(x) = -10x-10 = -10(x+1).
Igualando a zero: x=-1. Esse x pertence ao intervalo \left[-\frac{9}{5},0\right] pois -\frac{9}{5}=-1{,}8\le -1\le 0. Então há um extremo interior na aresta. Avaliamos g em x=-1 e também nos endpoints para comparar:
g(-1) = -5(-1)^2 -10(-1) = -5 +10 = 5.
Nos endpoints temos (já calculados):
g(0)=0,\qquad g\Bigl(-\frac{9}{5}\Bigr)= -5\Bigl(-\frac{9}{5}\Bigr)^2 -10\Bigl(-\frac{9}{5}\Bigr)=\frac{9}{5}.
(O último valor coincide com f no ponto A.)

Passo 6

Agora compamos todos os valores candidatos ao máximo obtidos nas três arestas:
f\Bigl(-\frac{9}{5},-9\Bigr)=18,
f(-1,-4)=5 \quad(\text{pois em }x=-1 \text{ temos } y=-5(-1)-9=-4),
f\Bigl(-\frac{9}{5},0\Bigr)=\frac{9}{5}=1{,}8,
f(0,-9)=0.
(O ponto (-1,-4) veio da aresta 3 com x=-1 e y=-4.)
Desses valores, o maior é 18, que ocorre em \left(-\frac{9}{5},-9\right). Não há outros pontos com valor igual a 18 (os demais pontos deram valores menores).

Resposta

\left(-\frac{9}{5},-9\right)

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