Considere o triângulo
de vértices
e
e a função
. Para qual(quais) ponto(s) (
) de
,
tem valor máximo?
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no triângulo
cujos vértices são
,
e
. A pergunta é: em quais ponto(s)
pertencentes a
a função
atinge seu valor máximo?
Informações importantes que temos: as três coordenadas dos vértices do triângulo e a expressão explícita de . A região
é fechada e limitada (um triângulo), portanto
atinge máximo e mínimo em
.
Informações importantes que temos: as três coordenadas dos vértices do triângulo e a expressão explícita de
Passo 2
Estratégia (explicada passo a passo): para funções contínuas num conjunto compacto (como este triângulo) os extremos ocorrem ou em pontos críticos do interior (onde o gradiente é zero) ou na fronteira do conjunto. Então vamos:
- Procurar pontos críticos no interior de
resolvendo . - Se não houver pontos críticos no interior, ou mesmo se houver, avaliar
na fronteira (cada aresta do triângulo). A fronteira é formada por três segmentos de reta; em cada segmento parametrize ou substitua a equação da reta e reduza o problema a uma função de uma variável, e então encontre máximos nessa intervalo (avaliando extremos interiores e endpoints).
Antes de calcular: o gradiente
é o vetor das derivadas parciais. A derivada parcial em relação a
, denotada
ou
, mede a taxa de variação de
quando
muda e
fica fixo. Similar para
.
Calculemos as derivadas parciais:
Pontos críticos satisfazem
, ou seja o sistema
Daí obtemos o ponto
. Esse ponto não pertence a
porque em
as ordenadas
variam entre
e
. Conclusão: não há pontos críticos do interior em
. Logo o máximo deve acontecer na fronteira do triângulo.
Passo 3
Identificamos as três arestas da fronteira e tratamos cada uma separadamente.
Aresta 1: entre
e
.
Aqui é constante:
e
varia em
. Substituindo em
:
Aqui
Isto é uma função linear em
. Funções lineares em um intervalo são monótonas, portanto atingem extremos nos endpoints do intervalo. Avaliando nos endpoints:
Passo 4
Aresta 2: entre
e
.
Aqui é constante e
varia em
. Substituindo:
Aqui
Também é linear em
, logo extremos nos endpoints:
Passo 5
Aresta 3: entre
e
.
Vamos achar a equação da reta que passa por esses pontos. A inclinação é
Vamos achar a equação da reta que passa por esses pontos. A inclinação é
Usando ponto
ou
, a reta tem equação
Nessa aresta
varia em
. Substituindo em
:
Agora temos um problema de uma variável: maximizar
em
.
Vamos derivar para encontrar extremos internos:
Igualando a zero:
. Esse
pertence ao intervalo
pois
. Então há um extremo interior na aresta. Avaliamos
em
e também nos endpoints para comparar:
Nos endpoints temos (já calculados):
(O último valor coincide com
no ponto
.)
Passo 6
Agora compamos todos os valores candidatos ao máximo obtidos nas três arestas:
(O ponto
veio da aresta 3 com
e
.)
Desses valores, o maior é
, que ocorre em
. Não há outros pontos com valor igual a
(os demais pontos deram valores menores).