Mostre, usando a definição de limite de função, que não existe L \in \mathbb{R} tal que \lim _{x \rightarrow 5} g(x)=L.
Passo 1
O enunciado define \displaystyle g(x)=\begin{cases}-7,&x>5,\\\ 3,&x<5,\end{cases}
e pede para mostrar, usando a definição de limite, que não existe L\in\mathbb{R} tal que \lim_{x\to5}g(x)=L.
O conteúdo é a definição \varepsilon–\delta de limite de função num ponto.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que exista L\in\mathbb{R} satisfazendo a definição de limite em x=5, ou seja, \forall \varepsilon>0\;\exists\delta>0 tal que, sempre que 0<|x-5|<\delta, vale |g(x)-L|<\varepsilon.
Passo 3
Escolha \varepsilon=2. Então, pela suposição, existe algum \delta>0 tal que
se 0<|x-5|<\delta então
|g(x)-L|<2.
Passo 4
Considere dois pontos dentro desse intervalo: x_1=5-\tfrac{\delta}{2} e x_2=5+\tfrac{\delta}{2}.
Ambos satisfazem 0<|x_i-5|<\delta. Então devem ocorrer simultaneamente
|g(x_1)-L|<2 \quad\text{e}\quad |g(x_2)-L|<2.
Mas g(x_1)=3 e g(x_2)=-7, logo
|3-L|<2 \quad\text{e}\quad |-7-L|<2.
Passo 5
A primeira desigualdade implica
1< L<5,
e a segunda implica
-9< L< -5.
Como (1,5)\cap(-9,-5)=\varnothing, não há L que satisfaça ambas. Isso contradiz a suposição de que o limite existe.
Resposta
Não existe L\in\mathbb{R} tal que \lim_{x\to5}g(x)=L.