Considere a função g: \mathbb{R} \backslash\{5\} \rightarrow \mathbb{R} dada por:
g(x)=\left\{\begin{array}{rll} -7 & , & \text { se } x>5 \\\\ 3 & , & \text { se } x<5 \end{array}\right.
Mostre, usando a definição de limite de função, que não existe L \in \mathbb{R} tal que \lim _{x \rightarrow 5} g(x)=L.

Passo 1

O enunciado define \displaystyle g(x)=\begin{cases}-7,&x>5,\\\ 3,&x<5,\end{cases}
e pede para mostrar, usando a definição de limite, que não existe L\in\mathbb{R} tal que \lim_{x\to5}g(x)=L.
O conteúdo é a definição \varepsilon \delta de limite de função num ponto.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que exista L\in\mathbb{R} satisfazendo a definição de limite em x=5, ou seja, \forall \varepsilon>0\;\exists\delta>0 tal que, sempre que 0<|x-5|<\delta, vale |g(x)-L|<\varepsilon.

Passo 3

Escolha \varepsilon=2. Então, pela suposição, existe algum \delta>0 tal que
se 0<|x-5|<\delta então
|g(x)-L|<2.

Passo 4

Considere dois pontos dentro desse intervalo: x_1=5-\tfrac{\delta}{2} e x_2=5+\tfrac{\delta}{2}.
Ambos satisfazem 0<|x_i-5|<\delta. Então devem ocorrer simultaneamente
|g(x_1)-L|<2 \quad\text{e}\quad |g(x_2)-L|<2.
Mas g(x_1)=3 e g(x_2)=-7, logo
|3-L|<2 \quad\text{e}\quad |-7-L|<2.

Passo 5

A primeira desigualdade implica
1< L<5,
e a segunda implica
-9< L< -5.
Como (1,5)\cap(-9,-5)=\varnothing, não há L que satisfaça ambas. Isso contradiz a suposição de que o limite existe.

Resposta

Não existe L\in\mathbb{R} tal que \lim_{x\to5}g(x)=L.

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