Empregue a definição de limite de funções para mostrar que existem os limites:
\lim _{x \rightarrow 2} x^{2}-5 x+7

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite (ε–δ), que a função
f(x)=x^2-5x+7
tem limite finito quando x tende a 2. Vamos provar que
\lim_{x\to2}f(x)
existe e encontrar seu valor.

Passo 2

Primeiro calculamos o valor candidato para o limite, que normalmente é f(2):
f(2)=2^2-5\cdot2+7=4-10+7=1.
Logo esperamos que
\lim_{x\to2}f(x)=1.
Para provar isso rigorosamente, tomamos um \varepsilon>0 qualquer e mostramos que existe \delta>0 tal que, se
0<|x-2|<\delta,
então
|f(x)-1|<\varepsilon.

Passo 3

Computamos a diferença
f(x)-1 = x^2-5x+7 - 1 = x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3).
Portanto
|f(x)-1| = |x-2|\,|x-3|.

Passo 4

Para controlar o fator |x-3|, restringimos \delta de modo que |x-2|<1. Se \delta\le1 e 0<|x-2|<\delta, então
|x-3| = |x-2-1|\le|x-2|+1 < 1+1 = 2.
Assim, sempre que |x-2|<\delta\le1, teremos
|f(x)-1| = |x-2|\,|x-3| < 2\,|x-2|.

Passo 5

Queremos 2\,|x-2|<\varepsilon, ou seja, |x-2|<\varepsilon/2. Logo basta escolher
\delta = \min\bigl\{1,\;\varepsilon/2\bigr\}.
Com essa escolha, sempre que 0<|x-2|<\delta teremos
|f(x)-1|<2\,|x-2|<2\cdot\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.

Passo 6

Concluímos que, para cada \varepsilon>0, existe \delta=\min\{1,\varepsilon/2\}>0 tal que 0<|x-2|<\delta implica |f(x)-1|<\varepsilon. Isso é exatamente a definição de
\lim_{x\to2}f(x)=1.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to2} \bigl(x^2-5x+7\bigr) = 1.

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