Empregue a definição de limite de funções para mostrar que existem os limites:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite (ε–δ), que a função
tem limite finito quando
tende a
. Vamos provar que
existe e encontrar seu valor.
Passo 2
Primeiro calculamos o valor candidato para o limite, que normalmente é
:
Logo esperamos que
Para provar isso rigorosamente, tomamos um
qualquer e mostramos que existe
tal que, se
então
Passo 3
Computamos a diferença
Portanto
Passo 4
Para controlar o fator
, restringimos
de modo que
. Se
e
, então
Assim, sempre que
, teremos
Passo 5
Queremos
, ou seja,
. Logo basta escolher
Com essa escolha, sempre que
teremos
Passo 6
Concluímos que, para cada
, existe
tal que
implica
. Isso é exatamente a definição de