Empregue a definição de limite de funções para mostrar que existem os limites:
\lim _{x \rightarrow 1}-6 x+9

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite de funções, que
\lim_{x\to 1}\bigl(-6x+9\bigr)
existe e determinar seu valor. Trata-se de uma função polinomial de primeiro grau, contínua em todo ponto.

Passo 2

Como a função é contínua, o valor do limite, se existir, deve ser
L = f(1) = -6\cdot 1 + 9 = 3.

Passo 3

Para aplicar a definição, calculemos a diferença em módulo entre f(x) e L:
|f(x) - L| = \bigl|(-6x + 9) - 3\bigr| = |-6x + 6| = 6\,|x - 1|.

Passo 4

Dado \epsilon>0, escolha
\delta = \frac{\epsilon}{6}.
Então, sempre que |x - 1| < \delta, segue que
|f(x) - L| = 6\,|x - 1| < 6\,\delta = \epsilon,
o que satisfaz a definição de limite.

Passo 5

Logo, por definição de limite,
\lim_{x\to 1}\bigl(-6x + 9\bigr) = 3.

Resposta

3

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