Resolva as equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Passo 1
Enunciado: resolver a equação diferencial
O que se pede: encontrar a solução geral
(ou seja, todas as soluções dependentes de uma constante arbitrária) e indicar qualquer restrição de domínio que apareça. Informações dadas: a equação relaciona a derivada primeira de
com
e
. Não há condição inicial fornecida, então buscamos a solução geral com constante de integração.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Para isso dividimos os dois lados por
. Atenção: ao dividir por
estamos supondo
; portanto a solução que vamos obter vale para
. Dividindo por
obtemos
Aqui escrevemos a equação como
com
e
. Esta é a forma padrão que facilita o próximo passo.
Passo 3
Apresentar o método do fator integrante (explicando por que funciona). A ideia é multiplicar a equação por uma função
tal que o lado esquerdo se torne a derivada do produto
. Se conseguimos isso, temos
Queremos que
, logo precisamos que
. Isso dá a equação diferencial para
:
Integrando,
e assim
Essa
é chamada de fator integrante.
Passo 4
Calcular o fator integrante para
. Temos
Portanto
onde podemos tomar
(positivo para
). Repare que o uso de
garante sinal correto, mas
é igual a
e funciona em ambos os ramos
e
.
Passo 5
Multiplicar a equação na forma padrão por
. A equação
torna-se
Pelo motivo do passo anterior, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, isto é,
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
. Integrando
obtemos
onde
é a constante arbitrária de integração.
Passo 7
Isolar
. Dividindo por
(novamente lembrando
) obtemos a solução geral
Essa é a família de soluções gerais, válida para
.
Passo 8
Verificação rápida (para ganhar confiança): calcular
e substituir na equação original. Tomando
temos
Agora calcular
:
que coincide com o lado direito da equação original, confirmando a solução.
Passo 9
Observações finais para a prova: procedimento prático que vale decorar
- colocar na forma
; - calcular
; - multiplicar e reconhecer
; - integrar e resolver para
.
Lembre-se de checar restrições de domínio (aqui) e sempre incluir a constante .