Resolva as equações diferenciais lineares de primeira ordem:
x y^{\prime}+2 y=x^{2}

Passo 1

Enunciado: resolver a equação diferencial
x\,y^{\prime}+2y=x^{2}.
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) (ou seja, todas as soluções dependentes de uma constante arbitrária) e indicar qualquer restrição de domínio que apareça. Informações dadas: a equação relaciona a derivada primeira de y com x e y. Não há condição inicial fornecida, então buscamos a solução geral com constante de integração.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Para isso dividimos os dois lados por x. Atenção: ao dividir por x estamos supondo x\neq 0; portanto a solução que vamos obter vale para x\neq 0. Dividindo por x obtemos
y^{\prime}+\frac{2}{x}y=x.
Aqui escrevemos a equação como
y^{\prime}+p(x)\,y=q(x)
com p(x)=\frac{2}{x} e q(x)=x. Esta é a forma padrão que facilita o próximo passo.

Passo 3

Apresentar o método do fator integrante (explicando por que funciona). A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(x) tal que o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(x)\,y(x). Se conseguimos isso, temos
\big(\mu y\big)^{\prime}=\mu\,y^{\prime}+\mu^{\prime}y.
Queremos que \mu\,y^{\prime}+\mu^{\prime}y=\mu\big(y^{\prime}+p\,y\big), logo precisamos que \mu^{\prime}=\mu p. Isso dá a equação diferencial para \mu:
\frac{\mu^{\prime}}{\mu}=p(x).
Integrando, \ln\mu=\int p(x)\,dx e assim
\mu(x)=\exp\Big(\int p(x)\,dx\Big).
Essa \mu é chamada de fator integrante.

Passo 4

Calcular o fator integrante para p(x)=\dfrac{2}{x}. Temos
\int p(x)\,dx=\int \frac{2}{x}\,dx=2\ln|x|.
Portanto
\mu(x)=\exp\big(2\ln|x|\big)=|x|^{2}=x^{2},
onde podemos tomar \mu(x)=x^{2} (positivo para x\neq 0). Repare que o uso de |x| garante sinal correto, mas x^{2} é igual a |x|^{2} e funciona em ambos os ramos x>0 e x<0.

Passo 5

Multiplicar a equação na forma padrão por \mu(x)=x^{2}. A equação y^{\prime}+\dfrac{2}{x}y=x torna-se
x^{2}y^{\prime}+2x y=x^{3}.
Pelo motivo do passo anterior, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto x^{2}y, isto é,
\big(x^{2}y\big)^{\prime}=x^{3}.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a x. Integrando \big(x^{2}y\big)^{\prime}=x^{3} obtemos
x^{2}y=\int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4}+C,
onde C é a constante arbitrária de integração.

Passo 7

Isolar y. Dividindo por x^{2} (novamente lembrando x\neq 0) obtemos a solução geral
y=\frac{x^{4}/4+C}{x^{2}}=\frac{x^{2}}{4}+\frac{C}{x^{2}}.
Essa é a família de soluções gerais, válida para x\neq 0.

Passo 8

Verificação rápida (para ganhar confiança): calcular y^{\prime} e substituir na equação original. Tomando
y=\frac{x^{2}}{4}+\frac{C}{x^{2}},
temos
y^{\prime}=\frac{x}{2}-2C x^{-3}.
Agora calcular x\,y^{\prime}+2y:
x\Big(\frac{x}{2}-2C x^{-3}\Big)+2\Big(\frac{x^{2}}{4}+\frac{C}{x^{2}}\Big) =\frac{x^{2}}{2}-2C x^{-2}+\frac{x^{2}}{2}+2C x^{-2}=x^{2},
que coincide com o lado direito da equação original, confirmando a solução.

Passo 9

Observações finais para a prova: procedimento prático que vale decorar
  1. colocar na forma y^{\prime}+p(x)y=q(x);
  2. calcular \mu(x)=\exp\big(\int p(x)\,dx\big);
  3. multiplicar e reconhecer (\mu y)^{\prime}=\mu q;
  4. integrar e resolver para y.
    Lembre-se de checar restrições de domínio (aqui x\neq 0) e sempre incluir a constante C.

Resposta

y(x)=\frac{x^{2}}{4}+\frac{C}{x^{2}},\quad x\neq 0,\; C\in\mathbb{R}

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