Considere a função Gama definida pela seguinte integral imprópria:
Dado
, prove que
, para
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função Gama
e pede para provar que, para
e
, vale
Aqui vamos usar a definição de transformada de Laplace e a integral imprópria que define
.
Passo 2
Pela definição de transformada de Laplace,
Fazemos a mudança de variável
Substituindo na integral, obtemos
Passo 3
No integrando, separamos as potências de
:
Logo
Mas, pela definição da função Gama com parâmetro
, temos
Portanto