Considere a função Gama definida pela seguinte integral imprópria:
Gamma(p)=integral0^infty e^-t t^p-1 d t, p>0
Dado p>0, prove que L(t^p)(s)=Gamma(p+1)s^p+1, para s>0.

Passo 1

O enunciado nos dá a função Gama
Gamma(p)=integral0^inftye^-t,t^p-1,dt, p>0,
e pede para provar que, para p>0 e s>0, vale
Ll(t^pr)(s)=Gamma(p+1)s^p+1
Aqui vamos usar a definição de transformada de Laplace e a integral imprópria que define Gamma.

Passo 2

Pela definição de transformada de Laplace,
Ll(t^pr)(s) =integral0^inftye^-s,t,t^p,dt
Fazemos a mudança de variável
u = s,t Longrightarrow t = us, dt = dus
Substituindo na integral, obtemos
integral0^inftye^-s,t,t^p,dt =integral0^inftye^-u,l(usr)^p,dus

Passo 3

No integrando, separamos as potências de s:
l(usr)^p,1s =u^ps^p,1s =1s^p+1,u^p
Logo
integral0^inftye^-s,t,t^p,dt =1s^p+1integral0^inftye^-u,u^p,du
Mas, pela definição da função Gama com parâmetro p+1, temos
integral0^inftye^-u,u^p,du =Gamma(p+1)
Portanto
Ll(t^pr)(s) =1s^p+1;Gamma(p+1)

Resposta

Ll(t^pr)(s) =Gamma(p+1)s^p+1

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