Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro dado t.
r(t)=t e^-t i+2 arctg(t) j+2 e^t k, t=0

Passo 1

O enunciado pede o vetor tangente unitário T(t) da curva
r(t) = t e^-ti + 2arctan(t)j + 2e^tk
no ponto em que t=0. Para isso, precisamos calcular r'(t) e depois normalizá-la em t=0.

Passo 2

Derivamos componente a componente r(t).
r'(t) = l(e^-t - t,e^-tr)i + 21+t^2j + 2e^tk
Note que o primeiro termo pode ser escrito como (1-t)e^-ti.

Passo 3

Avaliamos r'(t) em t=0.
r'(0) = (1-0)e^0i + 21+0^2j + 2e^0k = i + 2j + 2k

Passo 4

Calculamos a norma de r'(0).
|r'(0)| = raiz1^2 + 2^2 + 2^2 = raiz9 = 3

Passo 5

O vetor tangente unitário em t=0 é
T(0) = dfracr'(0)|r'(0)|.
T(0) = 13i + 23j + 23k

Resposta

T(0) = dfrac13i + dfrac23j + dfrac23k

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