Determine se cada uma das sequências é convergente ou divergente. Se ela for convergente, encontre o limite.
an=1e^n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a sequência
an = 1e^n
determinando se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, encontrar o seu limite. O conteúdo aqui é limite de sequência e uso de propriedades da função exponencial.

Passo 2

Note que
an = 1e^n = e^-n
Como a função xmapsto e^x é crescente e limxtoinftye^x=infty, segue que limntoinftye^n=infty. Logo, o expoente -n tende a -infty quando ntoinfty, e por continuidade de e^x temos
limntoinftye^-n = e^-infty = 0

Passo 3

Podemos fazer uma prova via definição de limite. Dado epsilon>0, escolha
N = llceil -ln(epsilon)rrceil
Para todo n>= N tem-se n>= -ln(epsilon), isto é, -n<= ln(epsilon). Aplicando exponencial:
e^-n<= e^ln(epsilon)=epsilon
Como |an-0|=e^-n<=epsilon para todo n>= N, concluímos que limntoinftyan=0.

Resposta

A sequência é convergente e
limntoinftyan=0.

Exercícios relacionados