Investigue a convergência da sequência cujo termo geral é dado por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para investigar se a sequência
converge ou não. Vamos usar conceitos de limites de sequências e algumas técnicas de cálculo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da potência para facilitar o trabalho com o limite. Observamos que:
Então, a sequência fica:
Passo 3
Agora, para encontrar o limite de
quando
tende ao infinito, podemos usar a propriedade que relaciona expressões do tipo
com a constante
:
No nosso caso, temos uma expressão semelhante, mas com
em vez de
. Como
e
crescem de forma semelhante quando
tende ao infinito, podemos aplicar essa propriedade.
Passo 4
Aplicando a propriedade acima, identificamos que
. Assim:
Isso significa que conforme
fica maior e maior, o valor de
se aproxima de
.
Resposta
A sequência
converge para
.