Investigue a convergência da sequência cujo termo geral é dado por
an=(n+1n-1)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para investigar se a sequência an = (n+1n-1)^n converge ou não. Vamos usar conceitos de limites de sequências e algumas técnicas de cálculo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da potência para facilitar o trabalho com o limite. Observamos que:
n+1n-1 = n-1 + 2n-1 = 1 + 2n-1
Então, a sequência fica:
an = (1 + 2n-1)^n

Passo 3

Agora, para encontrar o limite de an quando n tende ao infinito, podemos usar a propriedade que relaciona expressões do tipo (1 + xn)^n com a constante e :
limn to infty (1 + xn)^n = e^x
No nosso caso, temos uma expressão semelhante, mas com 2n-1 em vez de xn . Como n-1 e n crescem de forma semelhante quando n tende ao infinito, podemos aplicar essa propriedade.

Passo 4

Aplicando a propriedade acima, identificamos que x = 2 . Assim:
limn to infty (1 + 2n-1)^n = e^2
Isso significa que conforme n fica maior e maior, o valor de an se aproxima de e^2 .

Resposta

A sequência an = (n+1n-1)^n converge para e^2 .

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