Identifique e esboce o gráfico de cada superfície.
y=z^{2}

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar a superfície em \mathbb{R}^3 dada por
y = z^{2}.
O conteúdo envolvido é o estudo de superfícies em coordenadas cartesianas, usando cortes (seções) e parametrização.

Passo 2

Reescrevendo a equação, vemos que y depende apenas de z, e não de x. Ou seja, para todo x\in\mathbb{R} vale
y = z^{2}.

Passo 3

Analisando seções:
  • Para cada valor fixo de x, a curva de (y,z) é a parábola y = z^{2} no plano xz=\text{constante}.
  • Para cada valor fixo de z, temos y constante, e a seção é a reta paralela ao eixo x.

Passo 4

Conclusão: a superfície é um cilindro parabólico, cuja geratriz é paralela ao eixo x e cuja diretriz é a parábola y=z^{2} no plano x=0.
Uma parametrização natural é
\mathbf{r}(x,z) = \bigl(x,\;z^{2},\;z\bigr), \quad x\in\mathbb{R},\;z\in\mathbb{R}.

Resposta

A superfície é um cilindro parabólico com eixo paralelo a x e geratriz dada pela parábola y=z^{2}; para esboçá-lo, desenhe a parábola y=z^{2} no plano x=0 e projete-a em linhas paralelas ao eixo x.

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