Indique o tipo de indeterminação do limite
e calcule-o usando adequadamente a regra de LHôspital.
Passo 1
Temos que encontrar o limite
, identificando o tipo de indeterminação e aplicando a regra de L’Hôpital para resolvê-lo.
Passo 2
Observamos o comportamento das partes conforme
:
e
. Então o produto fica
, caracterizando uma indeterminação do tipo
.
Passo 3
Para aplicar L’Hôpital, transformamos o produto num quociente adequado. Escrevemos:
Passo 4
Nesse quociente o numerador tende a
e o denominador a
, ou seja, temos uma indeterminação
.
Passo 5
Agora aplicamos a regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador separadamente. Derivada do numerador:
Passo 6
Derivada do denominador:
Passo 7
Portanto o limite original se transforma em:
Passo 8
Simplificando esse quociente:
Passo 9
Logo o limite vale
Passo 10
Como para
vale
e
, cresce que
. Assim o limite é
.
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