Indique o tipo de indeterminação do limite
lim t 0^+ t^2 ln (sen(t))
e calcule-o usando adequadamente a regra de LHôspital.

Passo 1

Temos que encontrar o limite limtto0^+t^2ln(sin(t)), identificando o tipo de indeterminação e aplicando a regra de L’Hôpital para resolvê-lo.

Passo 2

Observamos o comportamento das partes conforme tto0^+: t^2to0 e ln(sin(t))to-infty. Então o produto fica 0cdot(-infty), caracterizando uma indeterminação do tipo 0timesinfty.

Passo 3

Para aplicar L’Hôpital, transformamos o produto num quociente adequado. Escrevemos:
t^2ln(sin(t))=ln(sin(t))1/t^2

Passo 4

Nesse quociente o numerador tende a -infty e o denominador a +infty, ou seja, temos uma indeterminação infty/infty.

Passo 5

Agora aplicamos a regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador separadamente. Derivada do numerador:
ddtl[ln(sin(t))r]=cot(t)

Passo 6

Derivada do denominador:
ddtl[1/t^2r]=-2/t^3

Passo 7

Portanto o limite original se transforma em:
limtto0^+cot(t)-2/t^3

Passo 8

Simplificando esse quociente:
cot(t)-2/t^3=-tfrac12,t^3cot(t)

Passo 9

Logo o limite vale -tfrac12limtto0^+t^3cos(t)sin(t)

Passo 10

Como para tto0 vale sin(t)sim t e cos(t)to1, cresce que t^3cos(t)sin(t)sim t^2to0. Assim o limite é 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados