• Considere a função
h(x)= 4-2 x & , se x >= 3 1-x^23 & , se x<3
Calcule:
lim x 3 h(x)-h(3)x-3

Passo 1

A questão define uma função por partes: h(x)=4-2x para x>=3 e h(x)=1-x^23 para x<3. Precisamos calcular o limite limxto3h(x)-h(3)x-3, que é a definição de derivada em 3, mas por ser função por partes, a gente tem que checar os limites laterais.

Passo 2

Primeiro, avaliamos h(3) usando o ramo x>=3: h(3)=4-2cdot3=-2.

Passo 3

No limite pela direita ( xto3^+), usamos h(x)=4-2x, então
h(x)-h(3)x-3=(4-2x)-(-2)x-3=6-2xx-3=-2
e o limite é -2.

Passo 4

No limite pela esquerda ( xto3^-), usamos h(x)=1-x^23, logo
h(x)-h(3)x-3=l(1-x^23r)-(-2)x-3=3-x^23x-3
Para simplificar, fatoramos:
3-x^23=3l(1-x^29r)=3l(1-x3r)l(1+x3r)=-(x-3)l(1+x3r)
Então
3-x^23x-3=-(1+x3)to -2 quando xto3

Passo 5

Como os limites à direita e à esquerda coincidem e valem -2, o limite pedido existe e é -2.

Resposta

-2

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