Considere a função
h(x)= x, & x >= 3 x^23, & x<3
e calcule os seguintes limites:
(a) lim x 3^- h(x)-h(3)x-3
(b) lim x 3^+ h(x)-h(3)x-3
© lim x 3 h(x)-h(3)x-3
Responda: a função f(x)=h(x)-h(3)x-3 é contínua em 3? Por quê?

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes h(x) e pede os limites laterais e o limite bilateral da diferença quociente
h(x)-h(3)x-3
em x→3. O conteúdo envolve limites laterais e a definição de derivada, e vamos precisar de h(3).

Passo 2

Como x=3 pertence à ramificação x≥3, temos h(3)=3.

Passo 3

Para x<3, h(x)=x^2/3. Então
h(x)-h(3)x-3 =x^23-3x-3 =x^2-93(x-3) =(x-3)(x+3)3(x-3) =x+33
Fazendo x→3^- obtemos 2.

Passo 4

Para x>3, h(x)=x. Assim
h(x)-h(3)x-3 =x-3x-3 =1
Logo o limite à direita (x→3^+) é 1.

Passo 5

Como o limite à esquerda é 2 e o limite à direita é 1, eles não coincidem, logo o limite bilateral em x→3 não existe.
A função f(x)=\frac{h(x)-h(3)}{x-3} não é contínua em x=3 porque o limite em 3 não existe (e f não está definida em x=3).

Resposta

a) 2 b) 1 c) não existe. A função f não é contínua em 3 porque seus limites laterais são diferentes.

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