Considere a função hipergeométrica F(a, b, c ; x). Mostre a identidade:
d F(a, b, c ; x)d x=a bc F(a+1, b+1, c+1 ; x)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a derivada da função hipergeométrica de Gauss
F(a,b,c;x)=sumn=0^infty(a)n,(b)n(c)n,x^nn!
satisfaz
ddxF(a,b,c;x)=a,bc;F(a+1,b+1,c+1;x)
Para isso, vamos derivar a série termo a termo e usar as propriedades do símbolo de Pochhammer (q)n.

Passo 2

Derivando termo a termo em x, temos
ddxF(a,b,c;x) =ddxsumn=0^infty(a)n,(b)n(c)n,x^nn! =sumn=0^infty(a)n,(b)n(c)n,ddxgl(x^nn!gr)
Como tfracddx(x^n)=n,x^n-1, obtemos
ddxF(a,b,c;x) =sumn=0^infty(a)n,(b)n(c)n,n,x^n-1n! =sumn=1^infty(a)n,(b)n(c)n,x^n-1(n-1)!

Passo 3

Fazendo a troca de índice m=n-1, de modo que quando n vai de 1 a infty, m vai de 0 a infty, temos
ddxF(a,b,c;x) =summ=0^infty(a)m+1,(b)m+1(c)m+1;x^mm!

Passo 4

Usamos a relação do Pochhammer
(q)m+1=q,(q+1)m
para cada parâmetro q=a,b,c. Assim,
(a)m+1=a,(a+1)m, (b)m+1=b,(b+1)m, (c)m+1=c,(c+1)m
Substituindo na soma:
(a)m+1,(b)m+1(c)m+1 =a,bc;(a+1)m,(b+1)m(c+1)m

Passo 5

Logo
ddxF(a,b,c;x) =summ=0^inftya,bc;(a+1)m,(b+1)m(c+1)m,x^mm! =a,bc,F(a+1,b+1,c+1;x)

Resposta

ddxF(a,b,c;x)=a,bc;F(a+1,b+1,c+1;x)

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