Durante a aula, consideramos a equação geral linear de 2-a ordem:
onde:
Mostre que a série diverge se: .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a solução em série
da equação
é divergente quando , e .
O conteúdo envolvido é a classificação de pontos singulares (regular vs. irregular) e o teste de convergência pelo comportamento assintótico dos coeficientes .
Passo 2
Como , as hipóteses e (juntamente com , que caracteriza o ponto singular) implicam que . Logo é um ponto singular de ordem , isto é, um ponto singular irregular. Pelo teorema de Frobenius, em pontos singulares irregulares não existe solução em série de potências convergente centrada em .
Passo 3
Para ver isso “na unha”, escrevemos
Substituindo em
e coletando os termos de mesma potência , obtemos para todo a relação
Passo 4
Isolando os dois maiores deslocamentos em —os termos em e em —e usando , , a equação acima fica para grande aproximadamente
Isso porque todos os outros termos envolvem coeficientes com e crescem menos rápido.
Passo 5
Da relação aproximada
segue
Logo
Passo 6
Pelo teste da razão, a razão l|un+1/unr|toinfty implica raio de convergência
R=1limsup|un+1/un|=0
Isso significa que a série não converge em torno de x=0.
Resposta
A série sumk=0^infty ukx^k tem raio de convergência nulo e, portanto, diverge sob as hipóteses u0neq0, p1=0 e p2neq0.