Durante a aula, consideramos a equação geral linear de 2-a ordem:
p(x) u^prime prime(x)+q(x) u^prime(x)+r(x) u(x)=0
onde:
ll p(x)=sumk=0^infty pk x^k, & q(x)=sumk=0^infty qk x^k, r(x)=sumk=0^infty rk x^k, & u(x)=sumk=0^infty uk x^k
Mostre que a série sumk=0^infty uk x^k diverge se: u0 neq 0, p1=0, p2 neq 0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a solução em série
u(x)=sumk=0^inftyukx^k
da equação
p(x),u''(x)+q(x),u'(x)+r(x),u(x)=0
é divergente quando u0neq0, p1=0 e p2neq0.
O conteúdo envolvido é a classificação de pontos singulares (regular vs. irregular) e o teste de convergência pelo comportamento assintótico dos coeficientes uk.

Passo 2

Como p(x)=sumk=0^infty pk x^k, as hipóteses p1=0 e p2neq 0 (juntamente com p0=0, que caracteriza o ponto singular) implicam que p(x)=x^2l(p2+cdotsr). Logo x=0 é um ponto singular de ordem 2, isto é, um ponto singular irregular. Pelo teorema de Frobenius, em pontos singulares irregulares não existe solução em série de potências convergente centrada em x=0.

Passo 3

Para ver isso “na unha”, escrevemos
u(x)=sumk=0^inftyukx^k, u'(x)=sumk=1^infty k,ukx^k-1, u''(x)=sumk=2^infty k(k-1),ukx^k-2
Substituindo em
p(x),u''+q(x),u'+r(x),u=0
e coletando os termos de mesma potência x^n, obtemos para todo n>=0 a relação
sumk=0^n pk,(n-k+2)(n-k+1),un-k+2 +sumk=0^n qk,(n-k+1),un-k+1 +sumk=0^n rk,un-k=0

Passo 4

Isolando os dois maiores deslocamentos em u—os termos em un+1 e em un—e usando p0=0, p1=0, a equação acima fica para n grande aproximadamente
q0,(n+1),un+1 ;+; p2,n(n-1),un ;approx;0
Isso porque todos os outros termos envolvem coeficientes pk,qk,rk com k>=1 e crescem menos rápido.

Passo 5

Da relação aproximada
q0,(n+1),un+1 + p2,n(n-1),un approx 0
segue
un+1approx -p2q0,n(n-1)n+1;un ;sim; -p2q0,n;un (ntoinfty)
Logo
limntoinftyl|un+1unr| ;=; limntoinfty|p2||q0|,n ;=; infty

Passo 6

Pelo teste da razão, a razão l|un+1/unr|toinfty implica raio de convergência
R=1limsup|un+1/un|=0
Isso significa que a série não converge em torno de x=0.

Resposta

A série sumk=0^infty ukx^k tem raio de convergência nulo e, portanto, diverge sob as hipóteses u0neq0, p1=0 e p2neq0.

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