Mostre que:
lim a, b longrightarrow infty F(a, b, 12 ;-x^24 a b)=cos (x)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos que mostrar que, quando os parâmetros a e b vão para o infinito, a função hipergeométrica F(a, b, 12; -x^24ab) se aproxima de cos(x) . Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a função hipergeométrica e como analisar limites envolvendo funções especiais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função hipergeométrica. A função 2F1(a, b; c; z) é uma série infinita definida por:
2F1(a, b; c; z) = sumn=0^infty (a)n (b)n(c)n z^nn!
Onde (q)n é o símbolo de Pochhammer, que representa o produto q(q+1)(q+2)(q+n-1) . No nosso caso, c = 12 e z = -x^24ab .

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento da função quando a e b tendem para o infinito. Observamos que, conforme a, b infty , o termo x^24ab tende a zero, já que a e b estão no denominador. Portanto, z se aproxima de zero.

Passo 4

Com z próximo de zero, podemos usar a aproximação da função hipergeométrica para z pequeno. A série converge rapidamente e podemos considerar apenas os primeiros termos para uma boa aproximação. Assim,
2F1(a, b; 12; -x^24ab) approx 1 + ab12 (-x^24ab)

Passo 5

Simplificando o segundo termo da aproximação:
ab12 (-x^24ab) = -x^24 cdot 2 = -x^22
Então, temos:
2F1(a, b; 12; -x^24ab) approx 1 - x^22

Passo 6

Agora, vamos relacionar isso com a série de Taylor da função cos(x) , que é:
cos(x) = 1 - x^22! + x^44! - dots
Observamos que, na aproximação que fizemos para a função hipergeométrica, obtivemos os dois primeiros termos da série de cos(x) .

Passo 7

Como a e b tendem para o infinito, os termos de ordem superior na série da função hipergeométrica se tornam cada vez menores devido aos fatores de ab no denominador. Assim, a aproximação se torna cada vez mais precisa, e a função hipergeométrica se aproxima exatamente de cos(x) .

Resposta

Portanto, mostramos que:
lima, b longrightarrow infty F(a, b, 12; -x^24ab) = cos(x)

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