Mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos que mostrar que, quando os parâmetros
e
vão para o infinito, a função hipergeométrica
se aproxima de
. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a função hipergeométrica e como analisar limites envolvendo funções especiais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função hipergeométrica. A função
é uma série infinita definida por:
Onde
é o símbolo de Pochhammer, que representa o produto
. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento da função quando
e
tendem para o infinito. Observamos que, conforme
, o termo
tende a zero, já que
e
estão no denominador. Portanto,
se aproxima de zero.
Passo 4
Com
próximo de zero, podemos usar a aproximação da função hipergeométrica para
pequeno. A série converge rapidamente e podemos considerar apenas os primeiros termos para uma boa aproximação. Assim,
Passo 5
Simplificando o segundo termo da aproximação:
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos relacionar isso com a série de Taylor da função
, que é:
Observamos que, na aproximação que fizemos para a função hipergeométrica, obtivemos os dois primeiros termos da série de
.
Passo 7
Como
e
tendem para o infinito, os termos de ordem superior na série da função hipergeométrica se tornam cada vez menores devido aos fatores de
no denominador. Assim, a aproximação se torna cada vez mais precisa, e a função hipergeométrica se aproxima exatamente de
.
Resposta
Portanto, mostramos que: