Durante a aula, consideramos a equação geral linear de 2-a ordem:
p(x) u^prime prime(x)+q(x) u^prime(x)+r(x) u(x)=0
onde:
ll p(x)=sumk=0^infty pk x^k, & q(x)=sumk=0^infty qk x^k, r(x)=sumk=0^infty rk x^k, & u(x)=sumk=0^infty uk x^k
Mostre a seguinte fórmula:
sumj+k=n ; k >= 0(k+2)(k+1) pj uk+2+sumj+k=n ; k >= 0(k+1) qj uk+1+sumj+k=n ; k >= 0 rj uk=0, n=0,1,2, cdot

Passo 1

O enunciado pede para derivar, a partir da expansão em série de potências
p(x)=sumk=0^inftypk x^k, q(x)=sumk=0^inftyqk x^k, r(x)=sumk=0^inftyrk x^k, u(x)=sumk=0^inftyuk x^k,
a condição que os coeficientes uk devem satisfazer para que
p(x),u''(x)+q(x),u'(x)+r(x),u(x)=0
seja identicamente nula. Vamos usar cálculo de derivadas termo a termo e depois igualar coeficientes de x^n.

Passo 2

Calculamos as derivadas de u(x) por reindexação:
u'(x)=sumk=1^inftyk,uk,x^k-1 =sumk=0^infty(k+1),uk+1,x^k,
u''(x)=sumk=2^inftyk(k-1),uk,x^k-2 =sumk=0^infty(k+2)(k+1),uk+2,x^k

Passo 3

Multiplicamos cada série pelo respectivo coeficiente:
p(x),u''(x) =l(sumj=0^inftypj x^jr) l(sumk=0^infty(k+2)(k+1)uk+2x^kr) =sumn=0^inftyl[sumj+k=n(k+2)(k+1)pj uk+2r]x^n,
q(x),u'(x) =sumn=0^inftyl[sumj+k=n(k+1)qj uk+1r]x^n,
r(x),u(x) =sumn=0^inftyl[sumj+k=nrj ukr]x^n

Passo 4

Somando as três contribuições e usando que a soma total deve ser a série zero, cada coeficiente de x^n satisfaz
sumj+k=n(k+2)(k+1)pj uk+2 +sumj+k=n(k+1)qj uk+1 +sumj+k=nrj uk =0, n=0,1,2,dots

Resposta

sumj+k=n;;k>=0(k+2)(k+1)pj uk+2 +sumj+k=n;;k>=0(k+1)qj uk+1 +sumj+k=n;;k>=0rj uk =0, n=0,1,2,ldots

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