Mostre que:
lim a, b longrightarrow infty F(a, b, 12 ; x^24 a b)=cosh (x)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
lima,btoinftyFl(a,b,tfrac12;tfracx^24abr)=cosh(x),
Aqui F é a função hipergeométrica 2F1(a,b;c;z). Para resolver, vamos usar a definição em série de potências e propriedades do símbolo de Pochhammer.

Passo 2

A definição de 2F1 é
F(a,b;c;z)=sumk=0^infty(a)k,(b)k(c)k,k!,z^k
onde (q)k=q(q+1)cdots(q+k-1) é o símbolo de Pochhammer.

Passo 3

No nosso caso c=tfrac12 e z=tfracx^24ab. Assim
Fl(a,b,tfrac12;tfracx^24abr) =sumk=0^infty(a)k,(b)k(tfrac12)k,k!l(tfracx^24abr)^k
Para a,btoinfty e k fixo, vale (a)ksim a^k e (b)ksim b^k.

Passo 4

Portanto, para cada k fixo,
lima,btoinfty(a)k,(b)ka^k,b^k=1
e
lima,btoinfty(a)k,(b)k(tfrac12)k,k!l(tfracx^24abr)^k =1(tfrac12)k,k!l(tfracx^24r)^k,

Passo 5

Usamos a identidade
(tfrac12)k=(2k)!4^k,k!
de onde
1(tfrac12)k,k!l(tfracx^24r)^k =4^k,k!(2k)!,k!,x^2k4^k =x^2k(2k)!,
Logo a série limite é
sumk=0^inftyx^2k(2k)!
que é exatamente a expansão de cosh(x).

Passo 6

A convergência dessa série é uniforme em x em qualquer compacto, o que permite trocar soma e limite e concluir o resultado.

Resposta

lima,btoinftyFl(a,b,tfrac12;tfracx^24abr)=cosh(x)

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