Seja x[n]=(-1)^n u[n]+alpha^n u[-n-n0], determine as restrições para alpha e n0 para que a R.C. seja 1<|z|<2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar quais devem ser os valores de alpha e n0 para que a Região de Convergência (RC) da transformada Z de x[n] = (-1)^n u[n] + alpha^n u[-n - n0] seja 1 < |z| < 2. Aqui, estamos lidando com transformada Z, que é uma ferramenta usada em processamento de sinais para analisar sistemas discretos. Para resolver isso, vamos precisar entender as propriedades da transformada Z, especialmente como a ROC é determinada para diferentes tipos de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função x[n]. Ela é composta de duas partes:
  1. (-1)^n u[n]: Essa parte representa uma sequência que começa em n=0 e continua para valores positivos de n. A expressão (-1)^n alterna o sinal a cada amostra.
  2. alpha^n u[-n - n0]: Essa parte representa uma sequência que começa em n = -n0 e vai para n negativos. Aqui, alpha é uma constante que vai controlar a taxa de crescimento ou decrescimento da sequência.
Nosso objetivo é encontrar as condições sobre alpha e n0 para que a RC seja 1 < |z| < 2.

Passo 3

Vamos calcular a transformada Z de cada parte de x[n] separadamente e depois analisar suas ROs (Regiões de Operação ou Convergência).
Transformada Z de (-1)^n u[n]:
A transformada Z de uma sequência a^n u[n] é dada por:
X(z) = sumn=0^infty a^n z^-n = 11 - a z^-1, para |z| > |a|
No nosso caso, a = -1, então:
X1(z) = 11 - (-1) z^-1 = 11 + z^-1 = zz + 1
A ROC para essa parte é $ |z| > |-1| \Rightarrow |z| > 1 $.
Transformada Z de |z| > |-1| Rightarrow |z| > 1 :
Primeiro, vamos reescrever alpha^n u[-n - n0] de uma forma mais conveniente. Notamos que u[-n - n0] é não-nulo para u[-n -n0].
A transformada Z de n <= -n0 é dada por:
a^n u[-n -n0]
Essa é uma série geométrica que converge quando:
X2(z) = sumn=-n0^-infty a^n z^-n = summ= n0^infty a^-m z^m = summ= n0^infty (za)^m
Portanto, a ROC para essa parte é $ |z| < |\alpha| $.

Passo 4

Agora, a transformada Z total de x[n] é a soma das transformadas individuais:
X(z) = X1(z) + X2(z) = zz + 1 + (zalpha)^n01 - zalpha
Para a transformada total convergir, a ROC deve ser a interseção das ROCs individuais das duas partes. Ou seja:
ROC total = ROC X1(z) cap ROC X2(z) = |z| > 1 e |z| < |alpha|
Portanto, para existir uma interseção, precisamos que:
1 < |alpha| < 2
Além disso, n0 determina o ponto onde a segunda sequência começa, mas para a ROC determinada apenas depende de alpha, desde que n0 seja escolhido de forma que a segunda parte exista. Geralmente, n0 deve ser um inteiro positivo.

Passo 5

Finalmente, juntando tudo, para que a RC seja 1 < |z| < 2, as condições necessárias são:
  • |alpha| > 1 (para que 1 < |alpha|)
  • |alpha| < 2 (para que |alpha| < 2)
  • n0 deve ser um inteiro positivo que garante a existência da segunda sequência na definição de x[n].

Resposta

As restrições são que alpha deve satisfazer 1 < |alpha| < 2 e n0 deve ser um inteiro positivo.

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