Seja , determine as restrições para e para que a R.C. seja .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar quais devem ser os valores de e para que a Região de Convergência (RC) da transformada Z de seja . Aqui, estamos lidando com transformada Z, que é uma ferramenta usada em processamento de sinais para analisar sistemas discretos. Para resolver isso, vamos precisar entender as propriedades da transformada Z, especialmente como a ROC é determinada para diferentes tipos de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função . Ela é composta de duas partes:
: Essa parte representa uma sequência que começa em e continua para valores positivos de . A expressão alterna o sinal a cada amostra.
: Essa parte representa uma sequência que começa em e vai para negativos. Aqui, é uma constante que vai controlar a taxa de crescimento ou decrescimento da sequência.
Nosso objetivo é encontrar as condições sobre e para que a RC seja .
Passo 3
Vamos calcular a transformada Z de cada parte de separadamente e depois analisar suas ROs (Regiões de Operação ou Convergência).
Transformada Z de :
A transformada Z de uma sequência é dada por:
No nosso caso, , então:
A ROC para essa parte é $ |z| > |-1| \Rightarrow |z| > 1 $.
Transformada Z de :
Primeiro, vamos reescrever de uma forma mais conveniente. Notamos que é não-nulo para .
A transformada Z de é dada por:
Essa é uma série geométrica que converge quando:
Portanto, a ROC para essa parte é $ |z| < |\alpha| $.
Passo 4
Agora, a transformada Z total de x[n] é a soma das transformadas individuais:
Para a transformada total convergir, a ROC deve ser a interseção das ROCs individuais das duas partes. Ou seja:
ROC total = ROC X1(z) cap ROC X2(z) = |z| > 1 e |z| < |alpha|
Portanto, para existir uma interseção, precisamos que:
1 < |alpha| < 2
Além disso, n0 determina o ponto onde a segunda sequência começa, mas para a ROC determinada apenas depende de alpha, desde que n0 seja escolhido de forma que a segunda parte exista. Geralmente, n0 deve ser um inteiro positivo.
Passo 5
Finalmente, juntando tudo, para que a RC seja 1 < |z| < 2, as condições necessárias são:
|alpha| > 1 (para que 1 < |alpha|)
|alpha| < 2 (para que |alpha| < 2)
n0 deve ser um inteiro positivo que garante a existência da segunda sequência na definição de x[n].
Resposta
As restrições são que alpha deve satisfazer 1 < |alpha| < 2 e n0 deve ser um inteiro positivo.