Considere a função: f(x)=2 xx^2-1
Identifique os os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=2xx^2-1,
e pede os intervalos de concavidade (para cima e para baixo) e os pontos de inflexão.
O conteúdo necessário é o estudo do sinal da segunda derivada f''(x).

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio de f:
dom(f)=xinRmid xneq pm1
Em seguida calculamos a primeira derivada usando quociente:
f'(x) =2,(x^2-1)-2xcdot2x(x^2-1)^2 =-2(x^2+1)(x^2-1)^2

Passo 3

Agora derivamos f'(x) para obter f''(x). Tomando
f'(x)=-2(x^2+1)(x^2-1)^-2,
aplicando a regra do produto e a cadeia, chega-se a
f''(x) =4x,(x^2+3)(x^2-1)^3

Passo 4

Analisamos o sinal de f''(x). Note que x^2+3>0 sempre e o fator 4 não altera o sinal. Resta o sinal de
xe (x^2-1)^3
Dividimos o domínio em quatro intervalos pelo zeros de x e pelos pontos x=pm1:
  • Em (-infty,-1): x<0 e x^2-1>0 implies f''(x)<0 (concavidade para baixo).
  • Em (-1,0): x<0 e x^2-1<0 implies f''(x)>0 (concavidade para cima).
  • Em (0,1): x>0 e x^2-1<0 implies f''(x)<0 (concavidade para baixo).
  • Em (1,infty): x>0 e x^2-1>0 implies f''(x)>0 (concavidade para cima).

Passo 5

Ponto de inflexão ocorre onde f''(x)=0 e há troca de concavidade. A única raiz de f''(x) no domínio é x=0, e de fato a concavidade muda ao atravessar 0. O valor de f em 0 é
f(0)=2cdot00^2-1=0,
logo o ponto de inflexão é (0,0).

Resposta

Intervalos de concavidade para cima: (-1,0)cup(1,infty)
Intervalos de concavidade para baixo: (-infty,-1)cup(0,1)
Ponto de inflexão: (0,0)

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