Considere a função:
Identifique os os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão.
Identifique os os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede os intervalos de concavidade (para cima e para baixo) e os pontos de inflexão.
O conteúdo necessário é o estudo do sinal da segunda derivada .
O conteúdo necessário é o estudo do sinal da segunda derivada
Passo 2
Primeiro identificamos o domínio de
:
Em seguida calculamos a primeira derivada usando quociente:
Passo 3
Agora derivamos
para obter
. Tomando
aplicando a regra do produto e a cadeia, chega-se a
Passo 4
Analisamos o sinal de
. Note que
sempre e o fator
não altera o sinal. Resta o sinal de
Dividimos o domínio em quatro intervalos pelo zeros de
e pelos pontos
:
- Em
: e (concavidade para baixo). - Em
: e (concavidade para cima). - Em
: e (concavidade para baixo). - Em
: e (concavidade para cima).
Passo 5
Ponto de inflexão ocorre onde
e há troca de concavidade. A única raiz de
no domínio é
, e de fato a concavidade muda ao atravessar
. O valor de
em
é
logo o ponto de inflexão é
.
Resposta
Intervalos de concavidade para cima:
Intervalos de concavidade para baixo:
Ponto de inflexão:
Intervalos de concavidade para baixo:
Ponto de inflexão: