Determine as equações cartesianas das curvas abaixo dadas em coordenadas polares e faça um esboço.
C: theta=3 pi4

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
theta = 3pi4
e pede a sua equação cartesiana e um esboço. Para isso vamos usar as relações entre coordenadas polares (r,theta) e cartesianas (x,y):
x = rcostheta, y = rsintheta,
e o fato de que, para theta constante,
tantheta = yx

Passo 2

Como theta=tfrac3pi4, temos
tanl(tfrac3pi4r) = -1,
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yx = -1 Longrightarrow y = -x

Passo 3

Em coordenadas polares padrão toma-se r>=0. Como
x = rcosl(tfrac3pi4r) = -raiz22,r <= 0,
segue que x<=0 e então y=-x>=0. Portanto a curva é a semirreta que passa pela origem, com inclinação -1, estendendo-se no segundo quadrante.

Resposta

A equação cartesiana é
y = -x, x <= 0
O esboço é uma semirreta de inclinação -1 partindo da origem em direção ao segundo quadrante.

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