y^prime prime-3 y^prime+2 y=2 sen x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 3y' + 2y = 2sin x
O conteúdo é EDO linear de ordem 2; vamos obter a solução geral como soma da solução complementar (homogênea) e de uma solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y'' - 3y' + 2y = 0
A equação característica é
r^2 - 3r + 2 = 0
cuja solução é
r = 1 e r = 2
Logo a solução complementar é
yc = C1 e^x + C2 e^2x

Passo 3

Para a solução particular yp, como o termo não homogêneo é 2sin x, usamos o palpite
yp = Asin x + Bcos x
Calculamos as derivadas:
yp' = Acos x - Bsin x,
yp'' = -Asin x - Bcos x

Passo 4

Substituindo em
Agrupando coeficientes de e :
Isso gera o sistema
Da segunda equação (B=3A]. Substituindo na primeira:
Logo

Passo 5

A solução geral da EDO é a soma de yc e yp:
y(x) = C1 e^x + C2 e^2x + tfrac15sin x + tfrac35cos x

Resposta

y(x) = C1 e^x + C2 e^2x + 15sin x + 35cos x

Exercícios relacionados