Considere a função: f(x)=2 xx^2-1
Identifique os intervalos onde a função f é crescente e onde é decrescente.

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x)=2xx^2-1
e pede para determinar em quais intervalos de seu domínio ela é crescente ou decrescente. O conteúdo principal aqui é monotonicidade de função via derivada.

Passo 2

Primeiro, identificamos o domínio de f. Como há divisão por x^2-1, precisamos de
x^2-1 neq 0,
isto é, x neq pm1. Logo o domínio é
(-infty,-1);cup;(-1,1);cup;(1,infty)

Passo 3

Agora calculamos a derivada f'(x) usando o quociente:
f'(x) =(2)(x^2-1)-2x,(2x)(x^2-1)^2 =2x^2-2-4x^2(x^2-1)^2 =-2(x^2+1)(x^2-1)^2

Passo 4

Observamos o sinal de f'(x):
  • O numerador -2(x^2+1) é sempre negativo, pois x^2+1>0.
  • O denominador (x^2-1)^2 é sempre positivo (exceto nos pontos de indeterminação pm1).
    Portanto
f'(x)<0
para todo x do domínio.

Passo 5

Como a derivada é negativa em cada intervalo do domínio, concluímos que f é estritamente decrescente em cada componente de seu domínio e não há nenhum trecho em que seja crescente.

Resposta

f é decrescente em
(-infty,-1),(-1,1)e(1,infty),
e não possui intervalo de crescimento.

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