Considere a função
Indique os intervalos de crescimento, decaimento, pontos críticos e máximos e mínimos locais de
, caso existam.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
. Nosso objetivo aqui é descobrir onde essa função está crescendo ou diminuindo, identificar os pontos críticos (onde a função pode ter máximos ou mínimos locais) e determinar esses máximos e mínimos, se existirem. Para isso, vamos precisar usar derivadas, que ajudam a entender o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada da função
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, se ela está aumentando ou diminuindo. Para derivar
, vamos usar a regra do quociente, que diz:
onde
e
.
Passo 3
Calculando as derivadas de
e
:
Agora, aplicando a regra do quociente:
Passo 4
Simplificando o numerador:
Portanto, a derivada fica:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Isso acontece onde
ou onde a derivada não existe.
Para
:
A derivada não existe quando o denominador é zero, ou seja, quando
. Contudo, esses pontos
são assíntotas verticais da função original, então não são considerados pontos críticos dentro do domínio.
Passo 6
Vamos determinar onde a função está crescendo ou decrescendo analisando o sinal da derivada
.
Como
é sempre positivo (exceto em
, onde a função não está definida), o sinal de
depende apenas de
:
- Se
, então , então ⇒ função decresce. - Se
, então , então ⇒ função cresce.
Passo 7
Vamos analisar o ponto crítico
:
- Para
passando de negativo para positivo, a função muda de crescente para decrescente. Isso indica que é um ponto de máximo local.
Vamos calcular
:
Então, o ponto máximo local é
.
Resposta
A função
cresce no intervalo
, decresce no intervalo
, tem um ponto crítico em
e apresenta um máximo local em
.