Considere a função
f(x)=x^2x^2-1
Indique os intervalos de crescimento, decaimento, pontos críticos e máximos e mínimos locais de f(x), caso existam.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função f(x) = x^2x^2 -1 . Nosso objetivo aqui é descobrir onde essa função está crescendo ou diminuindo, identificar os pontos críticos (onde a função pode ter máximos ou mínimos locais) e determinar esses máximos e mínimos, se existirem. Para isso, vamos precisar usar derivadas, que ajudam a entender o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da função f(x) . A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, se ela está aumentando ou diminuindo. Para derivar f(x) = x^2x^2 -1 , vamos usar a regra do quociente, que diz:
f'(x) = (u')v - u(v')v^2
onde u = x^2 e v = x^2 -1 .

Passo 3

Calculando as derivadas de u e v :
u' = 2x
v' = 2x
Agora, aplicando a regra do quociente:
f'(x) = (2x)(x^2 -1) - x^2(2x)(x^2 -1)^2 = 2x(x^2 -1) - 2x^3(x^2 -1)^2

Passo 4

Simplificando o numerador:
2x(x^2 -1) - 2x^3 = 2x^3 - 2x - 2x^3 = -2x
Portanto, a derivada fica:
f'(x) = -2x(x^2 -1)^2

Passo 5

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Isso acontece onde f'(x) = 0 ou onde a derivada não existe.
Para f'(x) = 0 :
-2x(x^2 -1)^2 = 0 implies -2x = 0 implies x = 0
A derivada não existe quando o denominador é zero, ou seja, quando x^2 -1 = 0 implies x = pm1 . Contudo, esses pontos x = pm1 são assíntotas verticais da função original, então não são considerados pontos críticos dentro do domínio.

Passo 6

Vamos determinar onde a função está crescendo ou decrescendo analisando o sinal da derivada f'(x) = -2x(x^2 -1)^2 .
Como (x^2 -1)^2 é sempre positivo (exceto em x = pm1 , onde a função não está definida), o sinal de f'(x) depende apenas de -2x :
  • Se x > 0 , então -2x < 0 , então f'(x) < 0 ⇒ função decresce.
  • Se x < 0 , então -2x > 0 , então f'(x) > 0 ⇒ função cresce.

Passo 7

Vamos analisar o ponto crítico x = 0 :
  • Para x passando de negativo para positivo, a função muda de crescente para decrescente. Isso indica que x = 0 é um ponto de máximo local.
Vamos calcular f(0) :
f(0) = 0^20^2 -1 = 0
Então, o ponto máximo local é (0, 0) .

Resposta

A função f(x) = x^2x^2 -1 cresce no intervalo (-infty, 0) , decresce no intervalo (0, +infty) , tem um ponto crítico em x = 0 e apresenta um máximo local em (0, 0) .

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