Encontre a área da região que é delimitada pelas curvas dadas e está no setor especificado.
(b) r=e^theta / 2 ; 0 <= theta <= 2 pi

Passo 1

O enunciado pede a área da região em coordenadas polares delimitada pela curva r = e^theta/2 para 0 <= theta <= 2pi. O conteúdo aqui é cálculo de área em coordenadas polares, e vamos usar a fórmula
A = tfrac12 integral r^2 ,dtheta

Passo 2

Como r = e^theta/2, temos
r^2 = l(e^theta/2r)^2 = e^theta
Substituindo na fórmula de área, fica
A = tfrac12 integral0^2pi e^theta ,dtheta

Passo 3

Agora, calculamos a integral de e^theta:
integral0^2pi e^theta ,dtheta = l[e^thetar]0^2pi = e^2pi - 1

Passo 4

Substituindo esse resultado em A, obtemos
A = tfrac12 l(e^2pi - 1r)

Resposta

A = tfrac12l(e^2pi - 1r)

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