Considere a função f:(0, infty) R, definida por
f(x)=integral1^x t(1+t^2)^2 ln (t) d t
(a) Calcule f(2).
(b) Justifique que f é diferenciável em R e calcule f^prime(x).
(c) Verifique que f é crescente.

Passo 1

Beleza, vamos dar um resumo do que temos:
Temos
f(x)=integral1^xt(1+t^2)^2ln(t),dt,
definida em (0,infty). O que a questão pede:
(a) Calcular f(2) – ou seja, resolver essa integral de 1 a 2.
(b) Justificar que f é diferenciável e achar f'(x) – usa o Teorema Fundamental do Cálculo, já que a integranda é contínua.
(c) Mostrar que f é crescente – basta analisar o sinal de f'(x).

Passo 2

(a) Calcular f(2).
  1. Integração por partes:
    • Escolhe u=ln(t)Rightarrow du=dtt.
    • Escolhe dv=t(1+t^2)^2dt.
  2. Para achar v=integral dv, faz a troca w=1+t^2, dw=2t,dt:
v=integralt(1+t^2)^2dt =12integral w^-2dw =-12w =-12(1+t^2)
  1. Pela fórmula integral u,dv=uv-integral v,du,
integral1^xtln t(1+t^2)^2dt =l[-ln t2(1+t^2)r]1^x +12integral1^x1t(1+t^2)dt
  1. A parte integraldtt(1+t^2) faz por frações parciais:
1t(1+t^2)=1t-t1+t^2,
logo
integraldtt(1+t^2) =integraldtt-integralt,dt1+t^2 =ln t-tfrac12ln(1+t^2)
  1. Juntando tudo e avaliando de 1 a 2 dá
f(2) =-ln22cdot5 +12l[ln2-tfrac12ln5r] -l(0-14ln2r) =1320ln2-14ln5

Passo 3

(b) Diferenciabilidade e f'(x).
A integranda tfractln t(1+t^2)^2 é contínua em (0,infty), então pelo Teorema Fundamental do Cálculo f é diferenciável e
f'(x) =xln x(1+x^2)^2

Passo 4

(c) Verificar que f é crescente.
Para ver se f cresce é só olhar o sinal de f'(x):
  • O denominador (1+x^2)^2 é sempre positivo e x>0.
  • Então o sinal de f'(x) é o mesmo de ln(x).
  • Se x>1, ln(x)>0implies f'(x)>0, logo f é crescente em (1,infty).

Resposta

(a) f(2)=1320ln2-tfrac14ln5
(b) f'(x)=xln(x)(1+x^2)^2
(c) Como f'(x)>0 para todo x>1, f é crescente em (1,infty).

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