Considere a função
, definida por
(a) Calcule
.
(b) Justifique que
é diferenciável em
e calcule
.
(c) Verifique que
é crescente.
(b) Justifique que
(c) Verifique que
Passo 1
Beleza, vamos dar um resumo do que temos:
Temos
Temos
definida em
. O que a questão pede:
(a) Calcular – ou seja, resolver essa integral de 1 a 2.
(b) Justificar que é diferenciável e achar
– usa o Teorema Fundamental do Cálculo, já que a integranda é contínua.
(c) Mostrar que é crescente – basta analisar o sinal de
.
(a) Calcular
(b) Justificar que
(c) Mostrar que
Passo 2
(a) Calcular
.
- Integração por partes:
- Escolhe
. - Escolhe
.
- Escolhe
- Para achar
, faz a troca , :
- Pela fórmula
,
- A parte
faz por frações parciais:
logo
- Juntando tudo e avaliando de 1 a 2 dá
Passo 3
(b) Diferenciabilidade e
.
A integranda é contínua em
, então pelo Teorema Fundamental do Cálculo
é diferenciável e
A integranda
Passo 4
(c) Verificar que
é crescente.
Para ver se cresce é só olhar o sinal de
:
Para ver se
- O denominador
é sempre positivo e . - Então o sinal de
é o mesmo de . - Se
, , logo é crescente em .
Resposta
(a)
(b)
(c) Como para todo
,
é crescente em
.
(b)
(c) Como