Determine a solução geral das edo’s Exatas:
Passo 1
Então, a gente tem a EDO
Esse problema é do conteúdo de equações diferenciais exatas, e pra resolver vamos precisar identificar as funções M(x,y) e N(x,y), verificar se
e, se for exata, achar a função potencial
.
Passo 2
Primeiro a gente reescreve a equação na forma
. Aqui
Passo 3
Agora a parte de teoria: uma equação é exata se
.
Vamos calcular:
e
.
Como são iguais, a equação é mesmo exata, e existe uma função tal que
e
.
Vamos calcular:
Como são iguais, a equação é mesmo exata, e existe uma função
Passo 4
Pra achar
, integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma “constante” que pode depender só de y. Essa parte vem da teoria de integrais parciais.
Passo 5
Agora determinamos
usando
. Calculando
, e isso deve ser igual a
. Daí
e integrando
oh
oh
A constante
a gente incorpora na constante geral da solução.
Passo 6
Juntando tudo, a função potencial é
e a solução geral da EDO é
.
Resposta
x{4}+3x{2}y{2}+y{3}=C