Determine a solução geral das edo’s Exatas:
2(3 x y^2+2 x^3)+3(2 x^2 y+y^2) d yd x=0

Passo 1

Então, a gente tem a EDO
2l(3xy^2+2x^3r)+3l(2x^2y+y^2r)dydx=0
Esse problema é do conteúdo de equações diferenciais exatas, e pra resolver vamos precisar identificar as funções M(x,y) e N(x,y), verificar se ∂M/∂y=∂N/∂x e, se for exata, achar a função potencial Φ(x,y).

Passo 2

Primeiro a gente reescreve a equação na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0. Aqui
M(x,y)=6xy^2+4x^3, N(x,y)=6x^2y+3y^2

Passo 3

Agora a parte de teoria: uma equação é exata se
∂M/∂y = ∂N/∂x.
Vamos calcular:
∂M/∂y = 12xy e ∂N/∂x = 12xy.
Como são iguais, a equação é mesmo exata, e existe uma função Φ(x,y) tal que
∂Φ/∂x = M e ∂Φ/∂y = N.

Passo 4

Pra achar Φ, integramos M em relação a x, tratando y como constante:
Φ(x,y) = integral (6xy^2+4x^3),dx = 3x^2y^2 + x^4 + h(y),
onde h(y) é uma “constante” que pode depender só de y. Essa parte vem da teoria de integrais parciais.

Passo 5

Agora determinamos h(y) usando ∂Φ/∂y = N. Calculando
∂Φ/∂y = 6x^2y + h'(y), e isso deve ser igual a N = 6x^2y+3y^2. Daí
h'(y)=3y^2 e integrando
oh
h(y)=y^3+C1
A constante C1 a gente incorpora na constante geral da solução.

Passo 6

Juntando tudo, a função potencial é
Φ(x,y)=x^4+3x^2y^2+y^3,
e a solução geral da EDO é
Φ(x,y)=C.

Resposta

x{4}+3x{2}y{2}+y{3}=C

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