Para integrar qualquer função racional (um quociente de polinômios) expressamos essa função como a soma de frações mais simples, chamadas frações parciais, que podem ser calculadas com os métodos já estudados. A seguir apresentaremos um exemplo de cada tipo das frações parciais. Encontre as primitivas para esses exemplos:
O quociente de um polinômio de grau 1 por um polinônio de grau 2 irredutível elevado a um exponente natural maior que 1 .
integral x-1(x^2+4)^2 d x

Passo 1

Então, cara: o que a gente quer é achar a primitiva
integral x-1(x^2+4)^2,dx
Isso cai em integração de funções racionais, onde normalmente a gente faz frações parciais ou usa dois macetes:
  1. Aproveitar que parte do numerador é a derivada do denominador (substituição u).
  2. Para o resto, usar substituição trigonométrica (nesse caso x=2tantheta) pra resolver integral1(x^2+4)^2,dx.

Passo 2

Separa a integral em duas:
integral x-1(x^2+4)^2,dx =integral x(x^2+4)^2,dx ;-;integral 1(x^2+4)^2,dx
A primeira tem x,dx, que bate com a derivada de x^2+4. A segunda a gente resolve com trig.

Passo 3

Calculando integral x(x^2+4)^2,dx via u-substituição:
Defina
u = x^2+4 ;;Rightarrow;; du = 2x,dx ;;Rightarrow;; x,dx = du2
Então
integral x(x^2+4)^2,dx = integral 1u^2,du2 = 12integral u^-2du = 12cdotu^-1-1 = -12u = -12(x^2+4)

Passo 4

Agora integral 1(x^2+4)^2,dx por substituição trig x=2tantheta:
  1. dx=2sec^2theta,dtheta.
  2. x^2+4=4tan^2theta+4=4sec^2theta;Rightarrow;(x^2+4)^2=16sec^4theta.
    Logo
integral dx(x^2+4)^2 = integral 2sec^2theta,dtheta16sec^4theta = 18integral cos^2theta,dtheta
Como cos^2theta=tfrac1+cos2theta2,
18integralcos^2theta,dtheta = 116integral(1+cos2theta),dtheta = 116l[theta + tfrac12sin2thetar]+C
Agora volta pra x:
  • theta=arctan!tfracx2.
  • sin2theta=2sinthetacostheta, com
    sintheta=xraizx^2+4,
    costheta=2raizx^2+4
    ;Rightarrow;sin2theta=4xx^2+4.
    Assim
116l[theta+tfrac12sin2thetar] = 116arctanx2 + x8(x^2+4)

Passo 5

Junta as duas partes:
integral x-1(x^2+4)^2,dx = -12(x^2+4) - l(x8(x^2+4) + 116arctanx2r) + C
O termo racional dá
-12(x^2+4) - x8(x^2+4) = -48(x^2+4) - x8(x^2+4) = -x+48(x^2+4)

Resposta

boxed -x+48(x^2+4) ;-;116,arctan!l(tfracx2r) ;+;C

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