Para integrar qualquer função racional (um quociente de polinômios) expressamos essa função como a soma de frações mais simples, chamadas frações parciais, que podem ser calculadas com os métodos já estudados. A seguir apresentaremos um exemplo de cada tipo das frações parciais. Encontre as primitivas para esses exemplos:
O quociente de um polinômio de grau 1 por um polinônio de grau 2 irredutível elevado a um exponente natural maior que 1 .
O quociente de um polinômio de grau 1 por um polinônio de grau 2 irredutível elevado a um exponente natural maior que 1 .
Passo 1
Então, cara: o que a gente quer é achar a primitiva
Isso cai em integração de funções racionais, onde normalmente a gente faz frações parciais ou usa dois macetes:
- Aproveitar que parte do numerador é a derivada do denominador (substituição
). - Para o resto, usar substituição trigonométrica (nesse caso
) pra resolver .
Passo 2
Separa a integral em duas:
A primeira tem
, que bate com a derivada de
. A segunda a gente resolve com trig.
Passo 3
Calculando
via
-substituição:
Defina
Defina
Então
Passo 4
Agora
por substituição trig
:
-
. -
.
Logo
Como
,
Agora volta pra
:
-
. -
, com
,
.
Assim
Passo 5
Junta as duas partes:
O termo racional dá