Para integrar qualquer função racional (um quociente de polinômios) expressamos essa função como a soma de frações mais simples, chamadas frações parciais, que podem ser calculadas com os métodos já estudados. A seguir apresentaremos um exemplo de cada tipo das frações parciais. Encontre as primitivas para esses exemplos:
O quociente de um polinômio de grau 1 por um polinônio de grau 2 irredutível.
integral x-1x^2+4 d x integral x+4x^2+2 x+5 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para achar as primitivas (ou antiderivadas) de duas funções racionais do tipo “polinômio de grau 1 sobre polinômio de grau 2 que não dá pra fatorar no real”. Isso cai em “integração de frações parciais” pra casos em que o denominador é um quadrático irredutível.
O que precisamos saber:
  1. Se na integral aparece algo como ∫u′/u dx, a gente usa ∫u′/u dx = ln|u| + C.
  2. Se for ∫dx/(x² + a²), vale ∫dx/(x² + a²) = (1/a)·arctan(x/a) + C.

Passo 2

Integral 1:
integral x-1x^2+4,dx
Primeiro a gente separa em duas partes:
integral x-1x^2+4,dx = integral xx^2+4,dx ;-; integral 1x^2+4,dx
  1. Para integral xx^2+4,dx, note que d(x^2+4)=2x,dx. Então
integral xx^2+4,dx = 12 integral 2xx^2+4,dx = 12 lnl(x^2+4r)
  1. Para integral 1x^2+4,dx, é do tipo ∫dx/(x² + a²) com a=2. Logo
integral 1x^2+4,dx = 12,arctan!l(x2r)
Juntando e mantendo o “–” da separação, a primitiva vira
12 lnl(x^2+4r) ;-; 12 arctan!l(x2r)

Passo 3

Integral 2:
integral x+4x^2+2x+5,dx
Primeiro a gente completa o quadrado no denominador:
x^2 + 2x + 5 = (x+1)^2 + 4
No numerador x+4 a gente escreve como (x+1)+3. Assim:
integral x+4x^2+2x+5,dx = integral (x+1)+3(x+1)^2+4,dx = integral x+1(x+1)^2+4,dx + 3integral 1(x+1)^2+4,dx
  1. integral x+1(x+1)^2+4,dx: note que dl((x+1)^2+4r)=2(x+1),dx. Logo
integral x+1(x+1)^2+4,dx = 12 ln!l((x+1)^2+4r)
  1. integral 1(x+1)^2+4,dx é tipo ∫dx/(u² + 2²) com u=x+1, dá
integral 1(x+1)^2+4,dx = 12,arctan!l(x+12r)
Multiplicando por 3, fica 32arctanl(tfracx+12r).
Somando as partes, a primitiva é
12 ln!l((x+1)^2+4r) ;+; 32 arctan!l(x+12r)

Resposta

As antiderivadas são, até constantes de integração:
boxed integral x-1x^2+4,dx = 12 lnl(x^2+4r) ;-; 12 arctan!l(x2r) + C1
e
boxed integral x+4x^2+2x+5,dx = 12 ln!l((x+1)^2+4r) ;+; 32 arctan!l(x+12r) + C2

Exercícios relacionados