Para integrar qualquer função racional (um quociente de polinômios) expressamos essa função como a soma de frações mais simples, chamadas frações parciais, que podem ser calculadas com os métodos já estudados. A seguir apresentaremos um exemplo de cada tipo das frações parciais. Encontre as primitivas para esses exemplos:
O quociente de um polinômio de grau 1 por um polinônio de grau 2 irredutível.
O quociente de um polinômio de grau 1 por um polinônio de grau 2 irredutível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para achar as primitivas (ou antiderivadas) de duas funções racionais do tipo “polinômio de grau 1 sobre polinômio de grau 2 que não dá pra fatorar no real”. Isso cai em “integração de frações parciais” pra casos em que o denominador é um quadrático irredutível.
O que precisamos saber:
O que precisamos saber:
- Se na integral aparece algo como ∫u′/u dx, a gente usa ∫u′/u dx = ln|u| + C.
- Se for ∫dx/(x² + a²), vale ∫dx/(x² + a²) = (1/a)·arctan(x/a) + C.
Passo 2
Integral 1:
Primeiro a gente separa em duas partes:
- Para
, note que . Então
- Para
, é do tipo ∫dx/(x² + a²) com . Logo
Juntando e mantendo o “–” da separação, a primitiva vira
Passo 3
Integral 2:
Primeiro a gente completa o quadrado no denominador:
No numerador
a gente escreve como
. Assim:
-
: note que . Logo
-
é tipo ∫dx/(u² + 2²) com , dá
Multiplicando por 3, fica
.
Somando as partes, a primitiva é
Resposta
As antiderivadas são, até constantes de integração:
e