Determine a solução geral das edo’s Exatas:
y-3 x^2-(4 y-x) d yd x=0

Passo 1

O enunciado nos pede a solução geral da EDO exata
y - 3x^2 - (4y - x)dydx = 0
Para resolver, vamos reescrever na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
identificar M e N, checar a condição de exatidão e encontrar uma função potencial psi(x,y).

Passo 2

Reescrevendo, obtemos
(y - 3x^2),dx - (4y - x),dy = 0
Logo definimos
M(x,y) = y - 3x^2
N(x,y) = -(4y - x) = x - 4y

Passo 3

Verificando exatidão:
partial Mpartial y = 1
partial Npartial x = 1
Portanto a equação é exata.

Passo 4

Procuramos psi(x,y) tal que
partial psipartial x = M = y - 3x^2
Integrando em relação a x,
psi(x,y) = integral (y - 3x^2),dx = xy - x^3 + h(y)
onde h(y) é função a determinar.

Passo 5

Para achar h(y), usamos
partial psipartial y = x + h'(y)
Isso deve ser igual a N = x - 4y, logo
h'(y) = -4y
e, integrando,
h(y) = -2y^2

Passo 6

Assim a função potencial é
psi(x,y) = xy - x^3 - 2y^2
e a solução implícita geral é psi(x,y) = C.

Resposta

xy - x^3 - 2y^2 = C

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