Considere a função injetiva
. Determine a expressão analítica da função inversa
e indique o seu domínio.
Passo 1
O enunciado dá a função injetiva
e pede duas coisas:
- A expressão analítica da função inversa
. - O domínio de
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função original está definida para todos os reais exceto
(porque o denominador não pode ser zero). - Como a função é injetiva, existe inversa definida da imagem (intervalo) de
para o domínio original.
A próxima etapa é obter explicitamente a fórmula da inversa e então identificar seu domínio (que é a imagem de).
Passo 2
Lembrete prático (o método): para achar a inversa de uma função algébrica, troca-se o papel de
e
: escreve-se
, resolve-se essa equação para
em função de
, e por fim troca-se
por
na expressão obtida. Isso funciona porque a inversa “desfaz” a operação de
.
Vamos aplicar isso passo a passo à função dada.
Passo 3
Começo colocando
e resolvendo para
em termos de
.
Multiplico ambos os lados por
(atenção: aqui estamos assumindo
, que já é a condição do domínio de
):
Faço a multiplicação no lado esquerdo e agrupo termos com
:
Levo todos os termos que contêm
para um lado e os demais para o outro:
Coloco
em evidência:
Agora, desde que
, isolamos
:
Isso nos dá
em função de
. Para escrever a função inversa na forma usual, trocamos o papel de
e
(isto é, substituímos
por
na fórmula):
Passo 4
Agora determinamos o domínio de
. Em geral, o domínio de
é igual à imagem (conjunto de valores assumidos) de
. Observando a fórmula obtida para
, já aparece uma restrição automática: o denominador
não pode ser zero, logo
. Mas precisamos justificar que não há outras restrições — isto é, mostrar que todo real diferente de
é realmente atingido por
.
Argumento direto: ao resolver
para
obtivemos
, desde que
. Se
não existe solução real para
, porque substituir
na etapa
daria
, impossibilidade. Logo o valor
não pertence à imagem de
. Para qualquer outro
a fórmula acima fornece um
que é pré-imagem de
. Portanto a imagem de
é exatamente
.
Conclusão: o domínio de
é
, que coincide com a imagem de
.
Passo 5
Checagem rápida por composição (confirmação algébrica): mostrar que
para
.
Começo com
e calculo
:
Faço as contas no numerador e no denominador separadamente. Numerador:
Denominador:
Dividindo numerador por denominador:
A composição dá
(para
), confirmando que a fórmula está correta e que o domínio de
é
.