Considere a função injetiva f(x)=\frac{3 x+2}{x-1}. Determine a expressão analítica da função inversa f^{-1}(x) e indique o seu domínio.

Passo 1

O enunciado dá a função injetiva \,f(x)=\dfrac{3x+2}{x-1}\, e pede duas coisas:
  • A expressão analítica da função inversa f^{-1}.
  • O domínio de f^{-1}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função original está definida para todos os reais exceto \,x=1 (porque o denominador (x-1) não pode ser zero).
  • Como a função é injetiva, existe inversa definida da imagem (intervalo) de f para o domínio original.
    A próxima etapa é obter explicitamente a fórmula da inversa e então identificar seu domínio (que é a imagem de f).

Passo 2

Lembrete prático (o método): para achar a inversa de uma função algébrica, troca-se o papel de x e y: escreve-se \,y=f(x)\,, resolve-se essa equação para x em função de y, e por fim troca-se y por x na expressão obtida. Isso funciona porque a inversa “desfaz” a operação de f.
Vamos aplicar isso passo a passo à função dada.

Passo 3

Começo colocando y=\dfrac{3x+2}{x-1} e resolvendo para x em termos de y.
y=\frac{3x+2}{x-1}
Multiplico ambos os lados por (x-1) (atenção: aqui estamos assumindo x\neq1, que já é a condição do domínio de f):
y(x-1)=3x+2
Faço a multiplicação no lado esquerdo e agrupo termos com x:
yx - y = 3x + 2
Levo todos os termos que contêm x para um lado e os demais para o outro:
yx - 3x = y + 2
Coloco x em evidência:
x(y-3) = y + 2
Agora, desde que y-3\neq 0, isolamos x:
x = \frac{y+2}{y-3}
Isso nos dá x em função de y. Para escrever a função inversa na forma usual, trocamos o papel de x e y (isto é, substituímos y por x na fórmula):
f^{-1}(x)=\frac{x+2}{x-3}

Passo 4

Agora determinamos o domínio de f^{-1}. Em geral, o domínio de f^{-1} é igual à imagem (conjunto de valores assumidos) de f. Observando a fórmula obtida para f^{-1}, já aparece uma restrição automática: o denominador (x-3) não pode ser zero, logo x\neq3. Mas precisamos justificar que não há outras restrições — isto é, mostrar que todo real diferente de 3 é realmente atingido por f.
Argumento direto: ao resolver \,y=\dfrac{3x+2}{x-1}\, para x obtivemos x=\dfrac{y+2}{y-3}, desde que y\neq3. Se y=3 não existe solução real para x, porque substituir y=3 na etapa x(y-3)=y+2 daria 0\cdot x=5, impossibilidade. Logo o valor y=3 não pertence à imagem de f. Para qualquer outro y\in\mathbb{R}\setminus\{3\} a fórmula acima fornece um x\in\mathbb{R}\setminus\{1\} que é pré-imagem de y. Portanto a imagem de f é exatamente \mathbb{R}\setminus\{3\}.
Conclusão: o domínio de f^{-1} é \mathbb{R}\setminus\{3\}, que coincide com a imagem de f.

Passo 5

Checagem rápida por composição (confirmação algébrica): mostrar que f(f^{-1}(x))=x para x\neq3.
Começo com f^{-1}(x)=\dfrac{x+2}{x-3} e calculo f\bigl(f^{-1}(x)\bigr):
f\!\left(\frac{x+2}{x-3}\right) = \frac{3\left(\dfrac{x+2}{x-3}\right)+2}{\left(\dfrac{x+2}{x-3}\right)-1}
Faço as contas no numerador e no denominador separadamente. Numerador:
3\left(\dfrac{x+2}{x-3}\right)+2=\dfrac{3(x+2)}{x-3}+\dfrac{2(x-3)}{x-3}=\dfrac{3x+6+2x-6}{x-3}=\dfrac{5x}{x-3}.
Denominador:
\left(\dfrac{x+2}{x-3}\right)-1=\dfrac{x+2}{x-3}-\dfrac{x-3}{x-3}=\dfrac{x+2-x+3}{x-3}=\dfrac{5}{x-3}.
Dividindo numerador por denominador:
\frac{\dfrac{5x}{x-3}}{\dfrac{5}{x-3}}=\frac{5x}{x-3}\cdot\frac{x-3}{5}=x.
A composição dá x (para x\neq3), confirmando que a fórmula está correta e que o domínio de f^{-1} é \mathbb{R}\setminus\{3\}.

Resposta

f^{-1}(x)=\dfrac{x+2}{x-3}
\mathrm{Dom}\bigl(f^{-1}\bigr)=\mathbb{R}\setminus\{3\}

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