Seja f(x)=\sqrt{x+1}, determine f^{-1}, D_{f^{-1}} e I m_{f^{-1}}.

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=\sqrt{x+1}. As perguntas são bem diretas:
  • Determinar f^{-1} (a função inversa).
  • Determinar D_{f^{-1}} (o domínio da inversa).
  • Determinar \mathrm{Im}_{f^{-1}} (a imagem/contradomínio efetivo da inversa).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A regra de correspondência: f(x)=\sqrt{x+1}.

Passo 2

O que é uma função inversa e quando ela existe (explicando devagar)?
  • Uma função g é inversa de f se, para todo x no domínio de f, vale g(f(x))=x e, para todo y no domínio de g, vale f(g(y))=y.
  • Para que exista inversa precisamos que f seja injetora (ou, mais forte, bijetora quando consideramos imagem/contradomínio). Uma maneira prática de garantir injetividade é mostrar que f é estritamente monotônica (estritamente crescente ou decrescente) no seu domínio.
Vou verificar monotonicidade de f. Diferencio:
f(x)=\sqrt{x+1} \quad\Rightarrow\quad f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}.
Aqui expliquei cada termo: a derivada de \sqrt{u} em relação a u é \dfrac{1}{2\sqrt{u}} e u=x+1 tem derivada 1, então a regra da cadeia dá esse resultado. Para x tal que a raiz está definida (veremos isso no próximo passo), temos \sqrt{x+1}\ge0, logo f'(x)>0 sempre onde a função está definida. Conclusão: f é estritamente crescente em seu domínio, logo é injetora e portanto tem inversa.

Passo 3

Determinar o domínio de f e a imagem de f (isso é necessário para saber domínio/imagem da inversa).
  • Restrição do radical: dentro da raiz deve valer x+1\ge0. Portanto
D_f=\{x\mid x+1\ge0\}=[-1,\infty).
  • Valores que f assume: como é raiz quadrada, o valor mínimo é quando x=-1, produzindo f(-1)=\sqrt{0}=0. Para x\to\infty, \sqrt{x+1}\to\infty. Assim os valores de f são todos os números reais não negativos, isto é
\mathrm{Im}_f=[0,\infty).
Observação importante (útil na prova): o domínio da inversa será exatamente \mathrm{Im}_f e a imagem da inversa será exatamente D_f.

Passo 4

Encontrar a inversa explicitamente, com cuidado (passo a passo e justificando cada operação).
  1. Escreve-se y=f(x):
y=\sqrt{x+1}.
  1. Troca-se x e y para obter a equação que define a inversa (isso corresponde a refletir sobre a reta y=x):
x=\sqrt{y+1}.
  1. Resolve-se para y. Como há uma raiz, elevar ao quadrado é o passo natural, mas atenção: elevar ao quadrado pode introduzir soluções extranhas em geral, então é preciso acompanhar a restrição de sinais. Elevando ao quadrado:
x^2 = y+1.
  1. Isola-se y:
y = x^2 - 1.
  1. Verificação/observação sobre restrição de sinais: na etapa de troca x correspondeu ao valor original y que vinha de uma raiz quadrada, logo esse x trocado deve satisfazer x\ge0. Assim a fórmula y=x^2-1 define a inversa quando aplicada a x em [0,\infty). Isso evita qualquer ambiguidade introduzida pela elevação ao quadrado: não precisamos tomar a raiz negativa porque o x da inversa já está restrito a não-negativos.
Conclusão: a inversa é a função
f^{-1}(x)=x^2-1,\qquad x\in[0,\infty).

Passo 5

Determinar explicitamente o domínio e a imagem da inversa e justificar (propriedade de troca):
  • Pelo que foi encontrado e pela propriedade geral, o domínio de f^{-1} é \mathrm{Im}_f, ou seja
D_{f^{-1}}=[0,\infty).
  • A imagem de f^{-1} é o conjunto dos valores x^2-1 quando x percorre [0,\infty). Para x=0 temos x^2-1=-1; para x\to\infty temos x^2-1\to\infty. E x^2-1 é crescente para x\ge0 (derivada 2x\ge0), portanto os valores percorridos são todos os reais a partir de -1. Assim
\mathrm{Im}_{f^{-1}}=[-1,\infty).

Resposta

f^{-1}(x)=x^{2}-1 for x\in[0,\infty)
D_{f^{-1}}=[0,\infty)
\mathrm{Im}_{f^{-1}}=[-1,\infty)

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