Seja
, determine
e
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
. As perguntas são bem diretas:
- Determinar
(a função inversa). - Determinar
(o domínio da inversa). - Determinar
(a imagem/contradomínio efetivo da inversa).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A regra de correspondência:
.
Passo 2
O que é uma função inversa e quando ela existe (explicando devagar)?
- Uma função
é inversa de se, para todo no domínio de , vale e, para todo no domínio de , vale . - Para que exista inversa precisamos que
seja injetora (ou, mais forte, bijetora quando consideramos imagem/contradomínio). Uma maneira prática de garantir injetividade é mostrar que é estritamente monotônica (estritamente crescente ou decrescente) no seu domínio.
Vou verificar monotonicidade de
. Diferencio:
Aqui expliquei cada termo: a derivada de
em relação a
é
e
tem derivada
, então a regra da cadeia dá esse resultado. Para
tal que a raiz está definida (veremos isso no próximo passo), temos
, logo
sempre onde a função está definida. Conclusão:
é estritamente crescente em seu domínio, logo é injetora e portanto tem inversa.
Passo 3
Determinar o domínio de
e a imagem de
(isso é necessário para saber domínio/imagem da inversa).
- Restrição do radical: dentro da raiz deve valer
. Portanto
- Valores que
assume: como é raiz quadrada, o valor mínimo é quando , produzindo . Para , . Assim os valores de são todos os números reais não negativos, isto é
Observação importante (útil na prova): o domínio da inversa será exatamente
e a imagem da inversa será exatamente
.
Passo 4
Encontrar a inversa explicitamente, com cuidado (passo a passo e justificando cada operação).
- Escreve-se
:
- Troca-se
e para obter a equação que define a inversa (isso corresponde a refletir sobre a reta ):
- Resolve-se para
. Como há uma raiz, elevar ao quadrado é o passo natural, mas atenção: elevar ao quadrado pode introduzir soluções extranhas em geral, então é preciso acompanhar a restrição de sinais. Elevando ao quadrado:
- Isola-se
:
- Verificação/observação sobre restrição de sinais: na etapa de troca
correspondeu ao valor original que vinha de uma raiz quadrada, logo esse trocado deve satisfazer . Assim a fórmula define a inversa quando aplicada a em . Isso evita qualquer ambiguidade introduzida pela elevação ao quadrado: não precisamos tomar a raiz negativa porque o da inversa já está restrito a não-negativos.
Conclusão: a inversa é a função
Passo 5
Determinar explicitamente o domínio e a imagem da inversa e justificar (propriedade de troca):
- Pelo que foi encontrado e pela propriedade geral, o domínio de
é , ou seja
- A imagem de
é o conjunto dos valores quando percorre . Para temos ; para temos . E é crescente para (derivada ), portanto os valores percorridos são todos os reais a partir de . Assim