Dadas as funções reais de variável real f(x)=2 x+3 e g(x)=x^{2}, determine as expressões analíticas das funções compostas (f \circ g)(x) e (g \circ f)(x).

Passo 1

O enunciado dá duas funções reais de variável real e pede as expressões das funções compostas. Informações fornecidas:
  • f(x)=2x+3.
  • g(x)=x^{2}.
O que é pedido:
  • Determinar a expressão analítica de (f\circ g)(x).
  • Determinar a expressão analítica de (g\circ f)(x).

Passo 2

Conceito e estratégia (passo-a-passo do que vamos fazer).
  • A composição (f\circ g)(x) significa f(g(x)): primeiro calcula-se g(x) e em seguida substitui-se esse resultado na fórmula de f.
  • Analogamente, (g\circ f)(x)=g(f(x)): primeiro calcula-se f(x) e depois substitui-se esse resultado na fórmula de g.
  • Importante: a letra x nas fórmulas é apenas um nome de variável (um “marcador”). Ao compor, substitui-se o argumento da função exterior pelo valor que a função interior fornece.

Passo 3

Cálculo de (f\circ g)(x)=f(g(x)).
  • Primeiro, escrevo g(x): g(x)=x^{2}.
  • A fórmula de f é f(t)=2t+3 se chamar o argumento de t. Agora substituo t=g(x)=x^{2}.
  • Substituição:
(f\circ g)(x)=f(g(x))=2\bigl(g(x)\bigr)+3=2\bigl(x^{2}\bigr)+3.
  • Simplificando a multiplicação:
2\bigl(x^{2}\bigr)+3=2x^{2}+3.

Passo 4

Cálculo de (g\circ f)(x)=g(f(x)).
  • Primeiro, escrevo f(x): f(x)=2x+3.
  • A fórmula de g é g(t)=t^{2}. Substituo t=f(x)=2x+3.
  • Substituição:
(g\circ f)(x)=g(f(x))=\bigl(f(x)\bigr)^{2}=\bigl(2x+3\bigr)^{2}.
  • Expandindo o quadrado usando (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}:
\bigl(2x+3\bigr)^{2}=(2x)^{2}+2\cdot(2x)\cdot 3+3^{2}=4x^{2}+12x+9.

Passo 5

Observações finais rápidas e incentivo.
  • Ambas as composições estão definidas para todo x\in\mathbb{R} porque f e g são polinômios (domínio todo \mathbb{R}).
  • Resumindo: em (f\circ g) aplica-se g primeiro e depois f; em (g\circ f) aplica-se f primeiro e depois g. Praticar essa substituição várias vezes ajuda muito para fixar — você está indo bem, continua firme!

Resposta

(f\circ g)(x)=2x^{2}+3
(g\circ f)(x)=4x^{2}+12x+9

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