Considere a função f(x)=4 x-e^x.
a) Isole as raízes de f(x) em intervalos. Apresente o processo de isolamento passo a passo.
b) Calcule o número de iterações necessárias no método da bissecção, para se obter uma aproximação para cada uma das raízes de f, com precisão varepsilon=0,01.
c) Determine uma aproximação para uma das raízes da funçãof, com precisão varepsilon=0,01, usando o método da bissecção.
d) Determine uma aproximação para a raiz da funçãof escolhida no item ©, com precisão varepsilon=0,01, usando o método da falsa posição.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de isolamento de raízes, método da bissecção e método da falsa posição para a função
f(x)=4x-e^x,
O conteúdo envolvido é:
- Teorema do Valor Intermediário (para isolar raízes).
- Método da Bissecção (dividir intervalos até ter precisão ε).
- Método da Falsa Posição (regula falsi)
Para isso, vamos usar no passo a passo: sinais de e , fórmula do ponto médio na bissecção e fórmula da reta secante na falsa posição.

Passo 2

Isolando as raízes (item a):
  1. Calcula-se alguns valores:

    • ⇒ há mudança de sinal em .
  2. Mais para frente:

    • ⇒ há mudança de sinal em .
      Logo, as duas raízes de estão isoladas nos intervalos e .

Passo 3

Número de iterações na bissecção (item b):
A fórmula para estimar n >= log2!l(b-avarepsilonr) iterações até uma precisão n >= log2(100)approx6,64Longrightarrow n=7 é
Para ambos os intervalos e , temos ,
então

Passo 4

Aproximação por bissecção em mk=ak-1+bk-12, e escolhemos o subintervalo onde (f) muda de sinal até [a7,b7]=[0,3515625,;0,359375] (item c):
Iteramos 7 vezes, atualizando
xbis=a7+b72=0,35546875approx0,3555
Após a 7ª iteração obtemos o intervalo final
com largura .
A aproximação final é o ponto médio

Passo 5

Aproximação por falsa posição em ck =ak-1,f(bk-1)-bk-1,f(ak-1) f(bk-1)-f(ak-1), até xfalsa=c3approx0,3579 (item d):
Usamos
atualizando o intervalo onde há mudança de sinal.
Com , :

  1. Como , paramos aqui.
    Aproximação final

Resposta

a) As raízes estão em e .
b) Precisamos de 7 iterações (em cada intervalo) na bissecção.
c) Pela bissecção (em ), .
d) Pela falsa posição (em ), .

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