Considere a função
.
a) Isole as raízes de
em intervalos. Apresente o processo de isolamento passo a passo.
b) Calcule o número de iterações necessárias no método da bissecção, para se obter uma aproximação para cada uma das raízes de
, com precisão
.
c) Determine uma aproximação para uma das raízes da funçãof, com precisão
, usando o método da bissecção.
d) Determine uma aproximação para a raiz da funçãof escolhida no item ©, com precisão
, usando o método da falsa posição.
a) Isole as raízes de
b) Calcule o número de iterações necessárias no método da bissecção, para se obter uma aproximação para cada uma das raízes de
c) Determine uma aproximação para uma das raízes da funçãof, com precisão
d) Determine uma aproximação para a raiz da funçãof escolhida no item ©, com precisão
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de isolamento de raízes, método da bissecção e método da falsa posição para a função
O conteúdo envolvido é:
- Teorema do Valor Intermediário (para isolar raízes).
- Método da Bissecção (dividir intervalos até ter precisão ε).
- Método da Falsa Posição (regula falsi)
Para isso, vamos usar no passo a passo: sinais de
Passo 2
Isolando as raízes (item a):
- Calcula-se alguns valores:
-
-
⇒ há mudança de sinal em.
-
- Mais para frente:
-
-
⇒ há mudança de sinal em.
Logo, as duas raízes deestão isoladas nos intervalos e .
-
Passo 3
Número de iterações na bissecção (item b):
A fórmula para estimar iterações até uma precisão
é
A fórmula para estimar
Para ambos os intervalos
e
, temos
,
então
então
Passo 4
Aproximação por bissecção em
até
(item c):
Iteramos 7 vezes, atualizando
Iteramos 7 vezes, atualizando
Após a 7ª iteração obtemos o intervalo final
com largura
.
A aproximação final é o ponto médio
A aproximação final é o ponto médio
Passo 5
Aproximação por falsa posição em
até
(item d):
Usamos
Usamos
atualizando o intervalo onde há mudança de sinal.
Com ,
:
Com
-
-
-
Como, paramos aqui.
Aproximação final
Resposta
a) As raízes estão em
e
.
b) Precisamos de 7 iterações (em cada intervalo) na bissecção.
c) Pela bissecção (em ),
.
d) Pela falsa posição (em ),
.
b) Precisamos de 7 iterações (em cada intervalo) na bissecção.
c) Pela bissecção (em
d) Pela falsa posição (em