Aplique o método do ponto fixo para determinar uma aproximação para a raiz positiva de x^2-5=0, com precisão varepsilon=10^-2, partindo do intervalo [2,2.5].
OBS: Inicialmente, você precisa escrever uma função de iteração e verificar se ela satisfaz as condições do Teorema, ou seja, se vai gerar uma sequência convergente para a raiz. Caso contrário, tente outras funções de iteração associadas à x^2-5=0, até encontrar uma adequada.

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer achar a raiz positiva de
x^2 - 5 = 0
usando o método do ponto fixo, até uma precisão de , começando num chute inicial no intervalo .
Conteúdo: Teorema do Ponto Fixo (ou Contracção de Banach).
O que vamos precisar:
  1. Escolher uma função de iteração tal que .
  2. Verificar que envia o intervalo em si mesmo e que lá dentro.
  3. Iterar até .

Passo 2

Tentar uma função de iteração:
  1. Isolar x = 5xLongrightarrow phi1(x)=5x direto:
phi1'(x) = -5x^2,
Mas aí
phi(x) = x + 5x2
e em temos . Ou seja, não é contração no intervalo.
  1. Vamos tentar a versão de Newton (que também é ponto fixo):
Isso porque a condição , beleza.

Passo 3

Verificar as condições do Teorema de Ponto Fixo em phi'(x) = 12l(1 - 5x^2r) :
  1. Mapeamento no intervalo:
    • Se |phi'(x)| <= maxl|tfrac12(1 - 5/x^2)r| = max|-0.125|,|0.15625| = 0.15625 <1 , então e .
      Calcula-se e . Logo .
  2. Derivada:
No pior caso, em ou ,
Portanto é contração e garante convergência.

Passo 4

Iterar a partir de um chute x1 = phi(2) = 2 + 5/22 = 2.25, . Vamos usar x2 = phi(2.25) = 2.25 + 5/2.252 approx 2.23611, :
x3 = phi(2.23611) = 2.23611 + 5/2.236112 approx 2.23609

Passo 5

Critério de parada: calcular |x1 - x0| = |2.25 - 2| = 0.25 > 0.01, e comparar com |x2 - x1| = |2.23611 - 2.25| approx 0.01389 > 0.01, :
|x3 - x2| = |2.23609 - 2.23611| approx 0.00002 < 0.01
Então paramos em .

Resposta

Aproximação da raiz positiva de x approx 2.23609 pelo método do ponto fixo, com , é

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