Aplique o método do ponto fixo para determinar uma aproximação para a raiz positiva de , com precisão , partindo do intervalo .
OBS: Inicialmente, você precisa escrever uma função de iteração e verificar se ela satisfaz as condições do Teorema, ou seja, se vai gerar uma sequência convergente para a raiz. Caso contrário, tente outras funções de iteração associadas à , até encontrar uma adequada.
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente quer achar a raiz positiva de
usando o método do ponto fixo, até uma precisão de , começando num chute inicial no intervalo .
Conteúdo: Teorema do Ponto Fixo (ou Contracção de Banach).
O que vamos precisar:
Escolher uma função de iteração tal que ↔ .
Verificar que envia o intervalo em si mesmo e que lá dentro.
Iterar até .
Passo 2
Tentar uma função de iteração:
Isolar direto:
Mas aí
e em temos . Ou seja, não é contração no intervalo.
Vamos tentar a versão de Newton (que também é ponto fixo):
Isso porque a condição dá , beleza.
Passo 3
Verificar as condições do Teorema de Ponto Fixo em :
Mapeamento no intervalo:
Se , então e .
Calcula-se e . Logo .
Derivada:
No pior caso, em ou ,
Portanto é contração e garante convergência.
Passo 4
Iterar a partir de um chute x1 = phi(2) = 2 + 5/22 = 2.25, . Vamos usar x2 = phi(2.25) = 2.25 + 5/2.252 approx 2.23611, :